Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см,а величина двугранного угла при основании пирамиды равна 30 градусов.найти площадь полной поверхности пирамиды
По известной высоте пирамиды и углу наклона боковой грани находим апофему L и сторону основания a. L = H / sin 30 = 8 / (1/2) = 16 см. а = 2*L*cos 30 = 2*16*(√3/2) = 16√3 = 27.712813 см. Теперь находим площадь боковой повехрности и основания: Sбок = 4*(1/2)*L*a = 2*16*16√3 = 512√3 = 886.81 см². So = a² = (16√3)² = 768 см². Площадь полной поверхности пирамиды 886.81 + 768 = 1654.81 см².
1). Определения: "Вертикальные углы — пара углов, у которых вершина общая, а стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла. Смежными углами называются два прилежащих угла, не совпадающие стороны которых образуют прямую. Смежные углы в сумме равны 180°". <AOD и <DOB -смежные, значит <AOD + <DOB=180°. <AOD и <AOС -смежные, значит <AOD + <AOC=180°. Следовательно, <DOB=180°-<AOD и <AOC=180°-<AOD. Значит <AOC =<DOB. Эти углы - вертикальные, они равны, что и требовалось доказать. 2). Прямая а параллельна прямой с. Прямая b параллельна прямой с. Следовательно, при пересечении этих прямых прямой d, образубтся равные соответственные углы <1=<3 и <2=<3. Но если два угла равны третьему, значит эти углы равны между собой. Итак, <1=<2 - а это соответственные углы при прямых a и b и секущей d. Следовательно, прямые a и b - параллельны, а не перпендикулярны. 3).В любом прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит в треугольниках АВО и СDO АВ=СD (противоположные стороны прямоугольника) АО=ОС, ВО=ОD и следовательно, треугольники АВО и СDО равны по трем сторонам. Точно также доказывается, что треугольники ВОС и АОD равны. Но сторона АВ не равна стороне АD, значит треугольники АОВ и АОD - не равны. Но. Sabd=(1/2)*AB*AD. Sacd=(1/2)*CD*AD. AB=CD как противоположные стороны прямоугольника. Значит Sabd=Sacd. Но Sabd=Sabo+Saod, a Sacd=Scdo+Saod, следовательно Sabo=Scdo. В прямоугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам. то есть в треугольнике ABD отрезок АО - медиана. По свойству медианы она делит треугольник на два РАВНОВЕЛИКИХ. То есть Sabo=Saod. Saod=Sboc (доказательство подобно приведенному для треугольников АВО и СDO) Следовательно, Sabo=Saod=Scod=Sboc. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 РАВНОВЕЛИКИХ, треугольника и на 4 попарно равных.
S(ABCD) =(AD+BC)/2 * h=(26+6)/2*h =16h . проведем CE | | BA ; E∈ [AD] . Треугольник CDE известен по трем сторонам и его площадь можно определить по формуле Герона , но этот треугольник прямоугольный: CE = BA =12 ; DE = AD - AE =AD -BC =26 -6 =20 ;CE=12 =4*3 ; CD =16=4*4 ; DE =4*5. *** DE² = CE² + CD² обратная теорема Пифагора *** S( ECD ) = EC* CD/2 = DE*h/2 ⇒ h =EC* CD/DE =12*16/20 =16*6/10 . S(ABCD) =16h =16*16*6/10 =256*6/10 =153,6. S(ABCD) =153,6.
L = H / sin 30 = 8 / (1/2) = 16 см.
а = 2*L*cos 30 = 2*16*(√3/2) = 16√3 = 27.712813 см.
Теперь находим площадь боковой повехрности и основания:
Sбок = 4*(1/2)*L*a = 2*16*16√3 = 512√3 = 886.81 см².
So = a² = (16√3)² = 768 см².
Площадь полной поверхности пирамиды 886.81 + 768 = 1654.81 см².