Question

Вравнобедренном треугольнике abc через вершины основания c и b и точку n (n лежит на высоте, проведённой к основанию, и делит её в отношении 1: 3, считая от основания) проведены прямые cd и be (d принадлежит ab, e принадлежит ac). найдите площадь треугольника bde, если площадь треугольника abc равна 20

Answer 1

Все обозначения - на чертеже,

х/b = n/m (из того, что AN - биссектриса)

x/b = h1/h (из подобия треугольников APD и AKB)

NP/NK = n/m (из подобия EPN и NKB)

NK = h/4; NP = 3*h/4 - h1;

Итак, получили

h1/h = (3*h/4 - h1)/(h/4) = (3 - 4*h1)/h = 3 - 4*(h1/h);

h1/h = 3/5;

Пусть площадь АВС S, тогда

Площадь АСК = S/2; площадь CNK  = (1/4)*(S/2) = S/8 (ну, я один раз это объясню - треугольники АСК и NCК имеют общую высоту СК и сторона КN = AК/4, поэтому площадь NCK = 1/4 от площади АСК)

Площадь ACN = 3*S/8;

Площадь АЕР = (3/5)^2 от площади АСК, поскольку это подобные треугольники, и стороны относятся, как 3/5, то есть площадь АЕР = (3/5)^2*(S/2).

Поэтому площадь четырехугольника EPNC равна 3*S/8 - (3/5)^2*(S/2); потом сосчитаем, пока же заметим, что нам осталось найти площадь треугольника NPD, которая равна (3/5)^2 от площади NCK (подобие и отношение сторон), то есть составляет (3/5)^2*S/8; собираем всё это, получаем, что искомая площадь треугольника CED, и, что то же самое - треугольника BED, равна

3*S/8 - (3/5)^2*(S/2) + (3/5)^2*S/8 = S*6/25;

а можно и так, это побыстрее - Sаbе = S*3/5; Saed = (9/25)*S; Sbed = S*(3/5 - 9/25) =S*6/25. 

 да, забыла на S на 20 заменить :))) Sbed = 6*20/25 = 24/5 = 4,8.