Грани правильного тетраэдра - равносторонние треугольники.
Их биссектриса является и высотой и медианой.
В сечении образуется равнобедренный треугольник, одна сторона которого равна ребру тетраэдра, две других - высоты грани.
Высота грани h = a*cos 30° = a√3/2 = 5√3/2.
Площадь сечения можно определить или 1) по формуле Герона, или 2) через высоту сечения.
1) Полупериметр p = 6,83013. Площадь S = √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Поставив данные, получаем:
S = √( 6,83013*1,830123*2,5*2,5) = √78,125 = 8,83883.
2) Высота сечения из середины ребра на противоположное ребро равна:
h(c) = √(h² - (a/2)²) = √(18,75 - 6,25) = √12,5 ≈ 4,33013.
S = (1/2)*h(c)*a = (1/2)*5*4,330135 = 8,83883.
Пусть дана трапеция АВСД, ВС и АД - основания, АВ ⊥ АД и ВС.
Пусть равные стороны АВ= ВС =х.
СД по условию равно х+1
Опустим из С высоту ВН на АД.
АВСН - квадрат со стороной х.
АД=х+НД.
Из прямоугольного треугольника СНД выразим НД по т. Пифагора:
НД²=СД²-СН²
НД²=(х+1)² -х ² =2х+1 ⇒
НД=√(2х+1)
АД=х+√(2х+1)
Периметр трапеции АВ+ВС+СД+АД=104
х+х+х+1+х+√(2х+1)=104
После незначительных преобразований получим:
103-4х = √(2х+1)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
10609-824х+16х² =2х+1
16х²-826х+10608=0 или 8х²-413х+5304=0
D=b²-4ac=-413² - 32·5304=841
x=(-b± √D):2а
Решив уравнение, получим
x₁=27.625; ( не подходит по величине периметра)
x₂=24
АВ= ВС=24. СД=25
Р=2*24+25+АД
АД=104-73=31 см