Question

Точка м - середина биссектрисы ск треугольника abс. на отрезке bm взята точка t так, что . докажите, что .

Answer 1

 1)Попробуем так ,  продолжим точку за $M$ , как выглядит на рисунку , так как $CTA=90а$ , то около треугольника можно   описать окружность такая что $AC$ будет  диаметром , $CK$ биссектриса ,то $TCG=GCA$, прямоугольник  $AGCE$ в нем $CE||AG$ , следовательно $\cup \ AG=\cup \ CE$; $MTC=CTE$ ; $MCB=GCA$ откуда следует что равны по соответствующим дугам 
$GCA=CTE\\ GCA=MCB\\ CTE=MTC\\ MCB=MTC$
вся это  конструкция выглядит довольно очень искусственно, имеется ввиду что исходя из того что $AGCE$ является прямоугольник, авторы задачи видимо на этом и  конструировали эту самую задачу.
 
2)Теперь докажем численно , то есть для произвольного треугольник, что это и будет выполнятся , к примеру треугольник со сторонами   $12;6;7$ 
такой треугольник существует исходя из неравенств треугольников (Можно конечно взять стороны за $a;b;c$ и проделать операций которые описаны ниже,но оно будет объемным)
Докажем так предположим что  $MCB=MTC$ , то есть что это действительно так , тогда должно выполнятся условие $S_{BTA}+S_{BTC}+S_{CTA}=S_{ABC}$ , если это не так то предположение будет не верным , значит $MCB \neq MTC$
$12^2=6^2+7^2-2*6*7*cos2a\\ cos2a=-\frac{59}{84}$
  по формуле биссектрисы , и зная что $CM=0.5*CK$, можно найти по формуле биссектрисы 
$CM=\frac{6*7*cosa}{6+7}\\ CM=\frac{6*7*cos(-\frac{arccos(-\frac{59}{84})}{2})}{13}\\ CM=\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}$ 
По теореме косинусов из треугольника $BKC\\ KB=\frac{84}{13}$
 Найдем длину медианы  $BM=\frac{\sqrt{2*KB^2+2*BC^2-CK^2}}{2}\\ BM=\frac{24\sqrt{14}}{13}$ $S_{ABT}=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184} *0.5*\frac{35\sqrt{3}}{46}*$
Угол $TMC=arccos( - \frac{35}{92\sqrt{3}})$ (это когда находя угол  $BMC$, затем отнимая от $\pi-BMC-a$) 
 Из треугольника $TMC$ , по теореме синусов 
$TC=\frac{\sqrt{1-(\frac{35}{92\sqrt{3}})^2}*\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}}{sin(arccos(-\frac{59}{84})*0.5)}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}\\ AT=\sqrt{36-TC^2} = \frac{13*\sqrt{429}}{46}$
 найдем  $BT$  по теореме косинусов так же 
$BT=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}$
$S_{BTC} =\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}* \frac{35\sqrt{3}}{46}*sin(\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5$
$S_{BTA}=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5*\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}$$*\frac{35\sqrt{3}}{46}$
$S_{CTA}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}*\frac{13*\sqrt{429}}{46}*0.5$
 суммируя  получим  
  $\frac{5\sqrt{143}}{4}$ 
 что верно  найдя площадь самого треугольник к примеру по формуле   Герона является верным ,значит предположение было верным  $MTC=MCB$