Хочу тебе объяснить чтобы ты могла решать все в миг без Смотри вот уравнение прямой на плоскости
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Оно называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох
Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору вектор n(3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда прямая, проходящей через эти точки:
уравнение прямой на плоскости
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:
уравнение прямой на плоскости
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь угловой коэффициент= k называется угловым коэффициентом .
Пример. Найти прямую, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
уравнение линии
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
уравнение с угловым коэффициентом
и обозначить уравнение с угловым коэффициентом, то полученное уравнением с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.
Определение. Каждый ненулевой вектор направляющий вектор( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти прямую с направляющим вектором вектор a(1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:
х + у - 3 = 0
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: прямая в отрезках или
соотношение в отрезках, где
введем обозначения
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде прямой в отрезках.
С = 1, получено уравнение в отрезках, а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой
Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число нормирующий множитель, которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой линии.
уравнение в отрезках: линия в отрезках
уравнение с угловым коэффициентом: (делим на 5)
уравнение с угловым коэффициентом
нормальное уравнение:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить в отрезках, например, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Найти её, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 . По сути все легко подумай сама и ты справишся
1. По заданным катетам а и b определить биссектрису прямого утла.
Решение.
S S S ; ∆ABC = ∆BCD + ∆ACD
sin 45 ; 2
1 sin 45
2
1
2
1 = ° + ° ab alc blc
ab l sin 45 (a b); = c ° +
( ) . 2
sin 45 a b
ab
a b
ab lc + = + ° =
2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Решение.
5
4 = c
b (на основании свойства биссектрисы внутреннего
угла треугольника).
Но ; 81 2 2
c − b =
12,
5
4
81, 2 2
⇒ =
=
− =
b
c
b
c b
9 12 54 см . 2
1
2
1 S 2 = ab = ⋅ ⋅ =
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы R и r описанного и
вписанного в него кругов.
Решение.
Известно, что в прямоугольном треугольнике
. 2
1
a + b = 2R + 2r, S = ab
Возведем в квадрат:
2 ( ) 2 2 , 4S 4( ) , 2 2 2 2 2
a + b + ab = R + r c + = R + r
но 2 , 4 4S 4( ) , S 2 . 2 2 2
c = R R + = R + r = Rr + r
4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник
на два треугольника с площадями 384 и 216 см2
. Найти гипотенузу.
Решение.
, 2
1
2
1 c ab = ch
, 2 600 1200
hc hc hc
ab
c = ⋅ = =
216 384. 4
1
384, 2
1
216, 2
1
2 = ⋅
=
=
×
c c c
c c
c c
a b h
b h
a h
Но 216 384, 4
1 , , 2 4 = = = ⋅ hc acbc hc acbc hc
50 см. 24
1200 4 6 66 6 4 4 4, 4 6 24, 4 hc = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ hc = ⋅ = c = =
5. В треугольнике известны длины двух сторон — 6 и 3 см. Найти длину третьей
стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
Решение.
а=6см, b=3см, , 2 , 2 c a b c
a b h h h h h h = + = +
, 4. 2
3
1
6
1 , 1 1 2 , 2S 2 2S 2S
+ = + = + = c = a b c a b c c
6. Трапеция разделена диагоналями на четыре части. Определить ее площадь, если
известны площади ее частей, прилежащих к основаниям S1 и S2.
Решение.
1. S3 = S4 (доказать самостоятельно).
2. sin α, 2
1 S1 = BM ⋅ MC ⋅
sin α, sin( ) 180 α sin α, 2
1 S2 = AM ⋅ MD ⋅ ° − =
sin α. 4
1 S S 2
1 2 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅
3. sin α, 2
1 S3 = AM ⋅ BM ⋅ sin α, 2
1 S4 = CM ⋅ MD ⋅
sin α S S S S , 4
1 S S 1 2 3 4
2
3 4 = AM ⋅ BM ⋅ MC ⋅ MD ⋅ ⇒ =
S S S S , S S S 2 S S ( S S ) .
2
3 = 4 = 1 2 ABCD = 1 + 2 + 1 2 = 1 + 2
7. Стороны треугольника 13, 14, 15см. Определить площадь и радиусы описанной (R) и
вписанной (r) окружностей.
Решение.
( )( )( ) 21, 2
13 14 15
2
S , = + + = + + = − − − = a b c
p p a p b p c p
S 21 8 7 6 3 7 2 2 2 7 2 3 2 2 3 7 84с ,
2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = м
м
p
r
abc R 4с
21
S 2 2 3 7
см 8
65
4 2 2 3 7
13 14 15
4S = ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = =
8. По трем высотам треугольника ha, hb, hc вычислить его площадь.
Решение.
S = p( )( )( ) p − a p − b p − c =
= + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + + = 2 2 2 2
a b c b c a a c b a b c
=
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
S S S S S S S S S S S S
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S
1
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S
2
1 −
+ −
+ −
+ −
= + +
a b c b c a a c b b b c h h h h h h h h h h h h
Чтобы построить высоту АН этого треугольника, следует найти точку, находящуюся на таком же расстоянии от ВС, как вершина А, т.е. симметричную ей. Делается это по общепринятой методике построения перпендикуляра.
Раствором циркуля, равным ВА из точки В, как из центра, проводим полуокружность.
Раствором циркуля, равным СА из точки С проводим полуокружность.
Точку их пересечения А₁ и вершину А треугольника соединяем.
АВ₁- пересекает ВС под прямым углом.
Точка пересечения Н определяет местоположение основания высоты АН.
Высота АН построена.