Найдем центр вневписанной окружности KCM.
Угол между биссектрисами внешних углов при K и M равен 90 -С/2 =45.
Отрезок KM виден из центра под углом 45.
Центр лежит на биссектрисе угла С.
Точка A является искомым центром т.к. удовлетворяет обоим условиям.
В, D - точки касания на продолжениях сторон (радиусы в эти точки перпендикулярны касательным).
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника (N) делит периметр пополам.
(Отрезки касательных из одной точки равны: CB=CD, KB=KN, MN=MD => CK+KN=CM+MN)
CB =CK+KN =(3+4+5)/2 =6
Высота, проведённая из вершины это также биссектриса и медиана. Биссектриса делит угол на два равных угла. 120°:2=60°. Углы при основе по 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и боковой стороной. Угол 30°лежит напротив катета 20 см, тогда гипотенуза в 2 раза больше, т. е. 40 см. Т. е. боковая сторона 40см. По т. Пифагора найдём второй катет, а это половина основы равнобедренного треугольника. 40^2-20^2=(40-20)(40+20)=20×60=1200, тогда половина основы ¦/1200=20|/3, основание 40¦/3. Периметр треугольника 40+40+40|/3=80+40|/3 см.
