(DF⊥FM по определению проекции). Раз расстояние до всех вершин одинаково, то FA=FB=FC, иными словами, D проецируется в центр описанной окружности треугольника. Искомое расстояние можно найти как радиус этой окружности по формуле 
ответ: АК=6см
Объяснение: так как АВ и АС - касательные, то радиусы ВО и СО проведённые к касательным образуют с ними прямой угол, поэтому ∆АОВ=∆АОС и они являются прямоугольными, в которых касательные и радиусы являются катетами а АО общей гипотенузой. Касательные АВ и АС пересекаясь в точке А равны от вершины А до точки касания, поэтому АВ=АС. Угол ВОС=120°, а прямая АО делит его пополам, поэтому <АОВ=<АОС=120÷2=60°.
Поскольку ∆АОВ прямоугольный, то сумма острых его углов составляет 90°, поэтому <ВАО=90–60=30°. Катет ВО, лежащий напротив этого угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому АО будет в 2 раза больше чем ВО: АО=6×2=12см
Прямая АО состоит и радиуса КО и отрезка АК, который нам нужно найти. КО также является радиусом, поэтому АК=АО–КО=12–6=6см
Пусть координата точки С равна (0; 0; z).
АВ² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32.
АВ = √32 = 4√2.
Из заданного соотношения AB^2/CB^2=2/5 находим:
СВ² = АВ²*5/2 = 32*5/2 = 80.
Из треугольника СОВ имеем: z² + 4² = 80.
Отсюда z² = 80 - 16 = 64. z = +√64 = 8.
Проекция искомой медианы на плоскость хОу равна половине АВ как гипотенузы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
То есть ОМ = 2√2.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник СОМ.
Из него находим:
СМ = √(z² + ОМ²) =√(64 + (2√2)² = √(64 + 8) = √72 = 6√2.
ответ: СМ = 6√2.
