Когда известны диагонали трапеции, часто решение сводится к дополнительному построению. Проведем через вершину В прямую, параллельно диагонали АС до пересечения с продолжением основания DC в точке Е. Тогда в треугольнике DBE имеем: <BED=<CAB=2α (противоположные углы параллелограмма), <BDE=<DBA=α (внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и DC и секущей ВD). По теореме синусов в треугольнике DBE имеем: а/sinα=1,4a/sin2α или а/sinα=1,4a/2sinα*cosα. Отсюда Сosα=0,7. Тогда Sinα=√(1-0,49)=√0,51. Угол между диагоналями трапеции ВОС равен 3α как внешний угол при вершине О в треугольнике АОВ (он равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника). Применяем формулу приведения для угла с тройным аргументом: Sin3α=3sinα-4sin³α. В нашем случае Sin3α=3√0,51-4*0,51*√0,51 или Sin3α=0,96√0,51. Тогда площадь трапеции равна Sabcd=(1/2)*AC*BD*Sin3α. Или Sabcd=(1/2)*а*1,4а*0,96√0,51 или Sabcd=0,672√0,51*a². ответ: Sabcd=0,672√0,51*a².
Можно попробовать не переходить на угол тройного аргумента, а ограничиться углом двойного аргумента: Найдем по Пифагору высоту ВН треугольника DBE: h=DB*Sinα или h=1,4a√0,51. Найдем DH=DB*Cosα или DH=1,4a*0,7=0,98a. Cos2α=1-Sin²α. Найдем HE=BE*Cos2α или HE=a*(-0,02)=-0,02a. (Хитрая трапеция получается!) DE=DH+HE=0,96*a. Тогда площадь треугольника DBE Sdbe=(1/2)*DE*h или Sdbe=(1/2)*0,96a*1,4a√0,51=0,672√0,51*a². Но площадь трапеции АВСD равна площади треугольника DBE (доказывать не надо?). Тогда ответ тот же: Sabcd=0,672√0,51*a².
Первый признак параллельностиПрямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой, образуемые внутренние углы, лежащие накрест, будут равны.Допустим, при пересечении прямых АВ и СD прямой линией ЕF, были образованы углы /1 и /2. Они равны, так как прямая линия ЕF проходит под одним уклоном по отношению к двум остальным прямым. В местах пересечения линий, ставим точки Ки L – у нас получился отрезок секущей ЕF. Находим его середину и ставим точку О (черт. 189).На прямую АВ опускаем перпендикуляр из точки О. Назовем его ОМ. Продолжаем перпендикуляр до тех пор, пока он не пересечется с прямой СD. В результате, первоначальная прямая АВ строго перпендикулярна МN, а это значит, что и СD_|_МN, но это утверждение требует доказательства. В результате проведения перпендикуляра и линии пересечения, у нас образовалось два треугольника. Один из них – МОЕ, второй – NОК. Рассмотрим их более подробно. признаки параллельности прямых 7 классДанные треугольники равны, поскольку, в соответствии с условиями теоремы, /1 =/2, а в соответствии с построением треугольников, сторона ОK = стороне ОL. Угол МОL =/NОК, поскольку это вертикальные углы. Из этого следует, что сторона и два угла, прилежащие к ней одного из треугольников соответственно равны стороне и двум углам, прилежащим к ней, другого из треугольников. Таким образом, треугольник МОL =треугольникуNОК, а значит, и угол LМО = углу КNО, но нам известно, что/LМО прямой, значит, и соответствующий ему, угол КNО тоже прямой. То есть, нам удалось доказать, что к прямой МN, как прямая АВ, так и прямая СD перпендикулярны. То есть, АВ и СD по отношению друг к другу являются параллельными. Это нам и требовалось доказать. Рассмотрим остальные признаки параллельности прямых (7 класс), которые отличаются от первого признака по доказательства.Второй признак параллельностиСогласно второму признаку параллельности прямых, нам необходимо доказать, что углы, полученные в процессе пересечения параллельных прямых АВ и СD прямой ЕF, будут равны. Таким образом, признаки параллельности двух прямых, как первый, так и второй, основывается на равности углов, получаемых при пересечении их третьей линией. Допускаем, что /3 = /2, а угол 1 = /3, поскольку он вертикален ему. Таким образом, и /2 будет равен углу1, однако следует учитывать, что как угол 1, так и угол 2 являются внутренними, накрест лежащими углами. Следовательно, нам остается применить свои знания, а именно то, что два отрезка будут параллельными, если при их пересечении третьей прямой образованные, накрест лежащие углы будут равными. Таким образом, мы выяснили, что АВ || СD.Нам удалось доказать, что при условии параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, согласно соответствующей теореме, признак параллельности прямых очевиден.Третий признак параллельностиСуществует еще и третий признак параллельности, который доказывается посредством суммы односторонних внутренних углов. Такое доказательство признака параллельности прямых позволяет сделать вывод, что две прямые будут параллельны, если при пересечении их третье прямой, сумма полученных односторонних внутренних углов, будет равна 2d. См. рисунок 192.
допустим, трапеция - ABCD
основания BC=10, AD=20
проведем высоты Н и Н1 => AH1=HD=5
рассмотрим треугольник CHD
по теореме Пифагора найдем высоту:
CD^2=CH^2+HD^2
HC^2=CD^2 - HD^2
HC^2= 13^2 - 5^2
HC^2=169 - 25
HC^2=144
HC=12
S=(10+20)12/2=180