Так как ΔАВС равнобедренный, то АВ₁ = В₁С = ВА₁ = А₁С ∠САВ = ∠СВА как углы при основании равнобедренного треугольника, АВ - общая сторона для ΔАВ₁В и ΔВА₁А, значит ΔАВ₁В = ΔВА₁А по двум сторонам и углу между ними, ⇒ АА₁ = ВВ₁. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, значит АО = ОВ. Обозначим АО = ОВ = х. ∠АОВ = 180° - 60° = 120° (смежные) Из ΔАОВ по теореме косинусов: АВ² = AO² + BO² - 2·AO·BO·cos120° 36 = x² + x² - 2 · x · x · (- 1/2) 2x² + x² = 36 3x² = 36 x² = 12 x = √12 = 2√3 АО = 2√3 см - это 2/3 от длины АА₁. Значит АА₁ = 3/2 · АО = 3/2 · 2√3 = 3√3 см
Так как трапеция АВСД равнобедренная, то и диагонали у неё равны. Обозначим стороны её a, b c, d. У трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Если диагональ ВД передвинуть в точку С, то получим равнобедренный треугольник со сторонами 7, 7 и (2*5 = 10) м. Высота этого треугольника равна высоте трапеции и равна двум радиусам вписанной окружности. Отсюда r = (1/2)√(7² - (10/2)²) = (1/2)√(49 - 25) = (1/2)√24. Теперь рассмотрим треугольник АВО. По свойству трапеции, в которую вписана окружность, угол О - прямой. Радиус, проведенный в точку касания окружности боковой стороны, - это перпендикуляр к этой стороне, то есть высота треугольника из точки О. Точка касания делит боковую сторону на 2 отрезка, равные b / 2 и d / 2 На основании свойства высоты прямоугольного треугольника: r² = (b / 2)*(d / 2) = bd / 4 или bd = 4r² = 4*((1/2)√24) = 24. Теперь решим систему уравнений: bd = 24 b + d = 10. Используем подстановки: b = 24 / d . Тогда (24 / d) + d = 10.,Приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение: d²-10d+24=0.Заменим обозначенме стороны d на х для решения этого уравнения: Квадратное уравнение, решаем относительно X: Ищем дискриминант:D=(-10)^2-4*1*24=100-4*24=100-96=4; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: X_1=(√4-(-10))/(2*1)=(2-(-10))/2=(2+10)/2=12/2=6; X_2=(-√4-(-10))/(2*1)=(-2-(-10))/2=(-2+10)/2=8/2=4. Это и есть ответ: больший корень - это основание d = 6 см, а меньшее - 4 см.
