Надо начертить окружность внутри треугольника, где ОМ=ОК=радиусу окружности. начерченная окружность пересекает АО в точке N, где ОN=OM=радиусу окружности. Доказываем, что треугольник NOK равносторонний. Биссектрисы равностороннего треугольника ABC делят углы пополам, т.е. по 30 градусов (углы BAO=OAK=30) и у оснований образуют 2 прямых угла (углы ВКА=ВКС=90 градусов, ВКС=ОКА=90). Угол АОК в прямоугольном треугольнике равен 60 градусам (180-ОАК-ОКА=60). Отсюда имеем равнобедренный треугольник NOK имеет равные стороны ON=OK=радиус окружности и угол между этими сторонами, равный 60 градусам. Т.к. углы у основания равнобедренного треугольника равны, то угол ONK=OKN=(180-60)/2=60. Это означает, что треугольник NOK равносторонний, т.е. NO=OK=NK=радиусу окружности. Образовавшийся треугольник ANK равнобедренный. Угол АКВ=90, угол NKO=60, значит угол NKA=90-60=30. Угол NAK=1/2 BAK=60/2=30. Значит, углы NAK=NKA=30 градусам, т.е. у основания АК равны, и треугольник ANK равнобедренный, где AN=NK=радиусу окружности. Из всего следует, что АО=AN+NO=R+R=2R (2 радиуса окружности), а ОМ= радиусу окружности. Значит, АО:ОМ=2:1.
Треугольник ABD тоже равнобедренный, AD = BD =12; (то есть у треугольника ABD известны все три стороны AB = 18;) С ходу в голову приходит воспользоваться теоремой косинусов, и тем, что углы ADB и CDB - дополнительные. Если (для максимальной краткости записи) обозначить 2*cos(Ф) = z; где Ф - это угол CDB; и DC = x; то 12^2 + 12^2 + 12*12*z = 18^2; 12^2 + x^2 - 12*x*z = 18^2; откуда конечно можно найти x = DC; дальше техника. Вместо того, чтобы находить из первого уравнения z и подставлять во второе, можно заметить, что x^2 - 12*x*z = 12^2 + 12*12*z; или x^2 - 12^2 = 12*(x + 12)*z; 12*z = x - 12; если это подставить в первое уравнение, получится 12^2 + 12^2 + 12*(x - 12) = 18^2 = 12*27; 12 + 12 + x - 12 = 27; x = 15;
Все это хорошо, но есть совсем элементарное решение. Очевидно, что треугольники ABD и ABC подобны - это равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при основаниях. Треугольник ABD подобен треугольнику (2,2,3) с коэффициентом 6, то есть (12,12,18); а треугольник ABC имеет боковую сторону 18, то есть коэффицент подобия 9 с тем же треугольником (2,2,3) то есть его основание AC = 27; откуда DC = 15;
А) В вписанном четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180°. Предположим, что заданные два угла являются противоположными. Тогда 46° + 125° = 180°. Но 46° + 125° = 171° => противоположными они не являются. Тогда два других угла равны: 180° - 46° = 134° 180° - 125° = 65°
б) В трапеции сумма односторонних углов равна 180°. Тогда угол, односторонний с углом в 80°, равен 180° - 80° = 100°. Угол, который противоположный с углом в 100°, равен 180° - 100° = 80° и угол, односторонний с данным, равен 100° ответ: 80°, 100°. 100°
в) Т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник - параллелограмм. Но т.к. ещё и сумма противоположных углов равна 180°, то данный четырехугольник - прямоугольник. Тогда все его углы равны по 90°.
Доказываем, что треугольник NOK равносторонний. Биссектрисы равностороннего треугольника ABC делят углы пополам, т.е. по 30 градусов (углы BAO=OAK=30) и у оснований образуют 2 прямых угла (углы ВКА=ВКС=90 градусов, ВКС=ОКА=90). Угол АОК в прямоугольном треугольнике равен 60 градусам (180-ОАК-ОКА=60). Отсюда имеем равнобедренный треугольник NOK имеет равные стороны ON=OK=радиус окружности и угол между этими сторонами, равный 60 градусам. Т.к. углы у основания равнобедренного треугольника равны, то угол ONK=OKN=(180-60)/2=60. Это означает, что треугольник NOK равносторонний, т.е. NO=OK=NK=радиусу окружности.
Образовавшийся треугольник ANK равнобедренный. Угол АКВ=90, угол NKO=60, значит угол NKA=90-60=30. Угол NAK=1/2 BAK=60/2=30. Значит, углы NAK=NKA=30 градусам, т.е. у основания АК равны, и треугольник ANK равнобедренный, где AN=NK=радиусу окружности.
Из всего следует, что АО=AN+NO=R+R=2R (2 радиуса окружности), а ОМ= радиусу окружности. Значит, АО:ОМ=2:1.