1)четырехугольник - это квадрат. Его сторона равна диаметру вписанной окружности, т. е 2R, где R- радиус вписанной окружности. Тогда площадь квадрата равна
Sкв = 4R^2
2) Разобьем шестиугольник на 6 треугольников отрезками, выходящими из центра к вершинам шестиугольника. Все эти треугольники правильные и равны между собой, т.к. угол при вершине 60 градусов и они равнобедренные, а высотой треугольника является радиус вписанной окружности, т. е. R. Сторону треугольников обозначим через X. Рассмотрим один из треугольников. Высота является в нем и медианой. Тогда, рассмотрев треугольник, образованный отрезком, проведенным из центра, половиной основания и высотой, имеем по теореме Пифагора
R^2 +(X/2)^2 = X^2, откуда X^2= 4R^2/3, X =2R/корень из 3 Площадь треугольника Sтр=X*R/2= 2R*R/2*корень из 3 =R^2/корень из 3 Площадь шестиугольника Sш =6Sтр= 6R^2/корень из 3 = 2* корень из 3* R^2
Отношение площадей Sкв/Sш = 4R2/2* корень из 3* R^2 = 2/корень из 3
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является и биссектрисой и медианой(делит основание пополам). т.е получаем два одинаковых треугольника со сторонами: 8см и 12÷2=6см. углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, значит, синусы, косинусы и тангенсы этих треугольников будут соответственно равны. прежде чем находить синусы и т.д, нужно найти гипотенузу. по т.Пифагора гипотенуза=кореньиз(64+36)=10см.
Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника. Рассмотрим сторону, к которой проведена медиана. В середине этой стороны восстановим серединный перпендикуляр, на котором должен лежать центр окружности. Но медиана тоже проходит через середину этой стороны, и центр опис. окружности лежит на ней. Значит, серединный перпендикуляр и медиана совпадают, ⇒медиана перпендикулярна к этой стороне, ⇒т.е. медиана является и высотой⇒значит, треугольник равнобедренный.
Sкв = 4R^2
2) Разобьем шестиугольник на 6 треугольников отрезками, выходящими из центра к вершинам шестиугольника. Все эти треугольники правильные и равны между собой, т.к. угол при вершине 60 градусов и они равнобедренные, а высотой треугольника является радиус вписанной окружности, т. е. R. Сторону треугольников обозначим через X. Рассмотрим один из треугольников.
Высота является в нем и медианой. Тогда, рассмотрев треугольник, образованный отрезком, проведенным из центра, половиной основания и высотой, имеем по теореме Пифагора
R^2 +(X/2)^2 = X^2, откуда
X^2= 4R^2/3, X =2R/корень из 3
Площадь треугольника
Sтр=X*R/2= 2R*R/2*корень из 3 =R^2/корень из 3
Площадь шестиугольника
Sш =6Sтр= 6R^2/корень из 3 = 2* корень из 3* R^2
Отношение площадей
Sкв/Sш = 4R2/2* корень из 3* R^2 = 2/корень из 3