Объяснение:
Определение
Геометрическим местом точек (сокращенно — ГМТ), обладающих некоторым свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.
Решение задачи на поиск ГМТ должно содержать доказательство того, что все точки множества , указанного в ответе, обладают требуемым свойством, а также наоборот, что все точки, обладающие требуемым свойством, лежат в этом множестве .
Приведем классические и важнейшие известные примеры ГМТ.
Пример
Геометрическое место точек, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние, — окружность (это определение окружности).
Пример
Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — две параллельные прямые.
Пример
Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к отрезку.
Пример
Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, — биссектриса угла.
Два последних примера будут рассмотрены детально в разделах "Серединный перпендикуляр" и "Биссектриса".
Утверждение
ГМТ, обладающих двумя свойствами, является пересечением двух множеств: ГМТ, обладающих первым свойством, и ГМТ, обладающих, вторых свойств
пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α
По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α
В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α.
Выразим а и в через Н:
а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α
b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α
Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H
S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H
S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α)
S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α
S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α)
S = 0.5H² · sin α/ cos α
S = 0.5H² · tg α
H² = 2S/tg α
H² = 2S ·ctg α
H = √(2S·ctg α)