Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. ⇒ АВ=12•2=24 см Пусть середина АС - точка К. Тогда КМ соединяет середины двух сторон. КМ- средняя линия ∆ АВС. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и делит его на подобные треугольники. КМ -параллельна ВС, угол АКМ=90º, ∆ АКМ - прямоугольный. Расстояние от К ( середины АС) до гипотенузы - перпендикуляр КН, высота ∆ АКМ. ∆ АКМ~∆АВС с коэффициентом подобия АМ:АВ= k=1/2 Площади подобных фигур относятся как квадрат их коэффициента подобия. S∆ AKM:S∆ ABC=k²=1/4 S∆ ABC=4 S∆ AKM Площадь ∆ АКМ=КН•AN:2=3•12:2=18 см² S∆ ABC=18•4=72см²
Для начала, нам нужно нарисовать впрямоугольный треугольник abc.
Пусть a и b - это катеты треугольника, а c - это гипотенуза.
Мы знаем, что медиана cm равна 12 см. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В нашем случае, медиана cm идет от вершины c до середины стороны ab.
Также, нам дано, что расстояние от середины катета ac до гипотенузы ab равно 3 см.
Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для медианы и площади треугольника.
Формула для медианы треугольника: m = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2), где m - медиана, a и b - катеты треугольника, c - гипотенуза треугольника.
Формула для площади треугольника: S = (1/2) * a * b, где S - площадь треугольника, a и b - стороны треугольника.
Но у нас есть одна проблема: нам не даны значения сторон треугольника. Но мы можем использовать информацию о медиане и расстоянии, чтобы найти эти значения.
Давай рассмотрим расстояние от середины катета ac до гипотенузы ab, которое равно 3 см. По определению, это половина медианы. То есть, mc = 2 * 3 = 6 см.
Теперь у нас есть значение mc и m, и мы можем приступить к решению задачи.
Подставим известные значения в формулу для медианы и решим ее относительно а и b.
12 = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2)
Для начала, в квадрате экономим время и записываем это в квадрате:
144 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2)
Используя информацию о расстоянии, можем записать, что:
6^2 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2)
36 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2)
У нас есть еще одна информация - треугольник впрямоугольный, поэтому можем записать теорему Пифагора для нахождения с:
c^2 = a^2 + b^2
Теперь, используя эту информацию, можем записать формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * a * b
Воспользуемся информацией о медиане и найдем значения a и b.
12 = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2))
Это упрощается до:
12 = (1/2) * √(a^2 + b^2)
Умножим обе части на 2:
24 = √(a^2 + b^2)
Возведем обе части в квадрат:
576 = a^2 + b^2
Теперь, учитывая формулу для площади треугольника, можем выразить b через a:
576 = a^2 + (1/2)^2 * a^2
576 = a^2 + (1/4) * a^2
576 = (5/4) * a^2
Умножим обе части на (4/5):
460.8 = a^2
Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
a = √460.8
Теперь, найдем b:
b = √(576 - a^2) = √(576 - 460.8) = √115.2
Теперь, когда у нас есть значения a и b, мы можем подставить их в формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * a * b = (1/2) * √460.8 * √115.2 = (1/2) * √(460.8 * 115.2) = (1/2) * √53109.6 = (1/2) * 230.4536 = 115.2268
Ответ: площадь треугольника равна 115.2268 квадратных сантиметров.
Пусть середина АС - точка К. Тогда КМ соединяет середины двух сторон. КМ- средняя линия ∆ АВС.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и делит его на подобные треугольники.
КМ -параллельна ВС, угол АКМ=90º, ∆ АКМ - прямоугольный.
Расстояние от К ( середины АС) до гипотенузы - перпендикуляр КН, высота ∆ АКМ.
∆ АКМ~∆АВС с коэффициентом подобия АМ:АВ= k=1/2
Площади подобных фигур относятся как квадрат их коэффициента подобия.
S∆ AKM:S∆ ABC=k²=1/4
S∆ ABC=4 S∆ AKM
Площадь ∆ АКМ=КН•AN:2=3•12:2=18 см²
S∆ ABC=18•4=72см²