Объяснение:
линейная ф-ция у=kх+b
прямая а имеет координаты (-2;0), (-1;2), подставляем в уравнение
первую точку 0= -2k+b b=2k
вторую точку 2= -k+b b=k+2
2к=к+2
к=2, b=2+2=4
значит уравнение прямой а выглядит как у=2х+2
прямая b имеет координаты (0;0), (-1;2), подставляем в уравнение
первую точку 0= 0*к+ b=0
вторую точку 2= -k+0 к= -2
значит уравнение прямой b выглядит как у= -2х
прямая с имеет координаты (-2;0), (2; -4), подставляем в уравнение
первую точку 0= -2k+b b=2k
вторую точку -4= 2k+b b= -4 - 2к
2к= -4 - 2к
4к= -4, к= -1 b= 2*(-1)= -2
значит уравнение прямой а выглядит как у= -х-2
Обозначим середину стороны DС буквой K. Координаты точки K ищем по формуле деления отрезка пополам
\begin{lgathered}x_K=\dfrac{x_D+x_C}{2}=\dfrac{8+(-4)}{2}=2\\ y_K=\dfrac{y_D+y_C}{2}=\dfrac{-2+(-2)}{2}=-2\end{lgathered}
x
K
=
2
x
D
+x
C
=
2
8+(−4)
=2
y
K
=
2
y
D
+y
C
=
2
−2+(−2)
=−2
Далее найдем уравнение медианы МК, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Т.е. MK проходит через точки M(-2;6), K(2;-2).
\begin{lgathered}\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}\\ \\ \\ \dfrac{x-(-2)}{2-(-2)}=\dfrac{y-6}{-2-6}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-6}{-8}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y+2x-2=0}\end{lgathered}
x
2
−x
1
x−x
1
=
y
2
−y
1
y−y
1
2−(−2)
x−(−2)
=
−2−6
y−6
⇒
4
x+2
=
−8
y−6
⇒
y+2x−2=0
ответ: y + 2x - 2 = 0.
Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза).
Высота призмы равна √(5²-4²)=3.
Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8. Тогда КЕ=6.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант2 (координатный).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3.
Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем
координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}.
Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5.
ответ: искомый угол равен arccos(2/√5).
Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5.
Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3), C1(0;3;0), E(6;0;2√3).
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.
Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0.
Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0.
Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу:
|x-0 0-0 6-0 | | x-0 0 6 |
|y-3 3-3 0-3 | = 0. Или | y-3 0 -3 | = 0.
|z-4√3 0-4√3 2√3-4√3 | | z-4√3 -4√3 -2√3 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
| 0 -3 | | 0 6 | | 0 6 |
(x-0)* |-4√3 -2√3| - (y-3)* |-4√3 -2√3 | + (z-4√3)*| 0 -3 | =0.
Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0.
Это и есть уравнение плоскости А1С1Е.
Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости.
Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}.
Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей.
cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)] или cosα=-2/√5.
Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем cosα=2/√5 (так как
cos(180-α)=-cosα).
ответ, как и во втором варианте:
искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).