НА ПОУЧИ, НЕУЧ!
Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
Коллинеарные вектора
рис. 1
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
= i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
= i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay .
bx by
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 = 2 .
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 ≠ 2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 ≠ 9 .
4 8
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay .
bx by
Значит:
3 = 2 .
9 n
Решим это уравнение:
n = 2 · 9 = 6
3
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
3 = 2 = m
9 n 12
Из этого соотношения получим два уравнения:
3 = 2
9 n
3 = m
9 12
Решим эти уравнения:
n = 2 · 9 = 6
3
m = 3 · 12 = 4
9
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Представители господствующего класса и выразители их взглядов в печати, стре¬мясь снизить сатирическое звучание «Ревизора», после первого спектакля утверж¬дали, что «не стоило смотреть эту глупую фарсу», что пьеса является «рядом смеш¬ных карикатур». Правда, в первоначальной редакции фарсовые моменты в пьесе имелись, и по вине театральных критиков они были подчеркнуты актерами. Но в последней редакции пьесы Гоголь сумел не только отвести эти упреки, но, добавив к пьесе в качестве эпиграфа народную пословицу «На зеркало неча пенять, коли рожа крива», со всей резкостью еще раз подчеркнул «кривые рожи» своих совре¬менников.
В. Г. Белинский писал: «В высшей степени художественная комедия проникну¬та глубоким юмором и ужасающая своей верностью действительности»
Не только служебные преступления, выведенные на всеобщее осмеяние, дела¬ют «Ревизора» произведением большой обличительной силы, но и убедительно раскрытый Гоголем процесс превращения человека в сознательного взяточника.
На протяжении нескольких сцен Хлестакову и в голову не приходит, что он получает взятки. Услыхав, что городничий «готов служить сию минуту» и дать ему денег, Хлестаков обрадовался: «Дайте, дайте мне взаймы, я сейчас же расплачусь с трактирщиком». А получив деньги, тут же с искренней убежденностью в том, что он это сделает, обещает: «Я вам тотчас пришлю их из деревни...». У него и не возни¬кает мысли, что он получил взятку, ему безразлично, почему и зачем «благородный человек» одолжил ему денег. Он думает лишь о том, что сможет расплатиться с дол¬гами и наконец как следует поесть. Конечно, и завтрак в богоугодном заведении никак не воспринимается им как «подмазывание». На следующий день, с удоволь¬ствием вспоминая этот завтрак, он говорит: «Я люблю радушие, и мне, признаюсь, больше нравится, если мне угождают от чистого сердца, а не то чтобы из интере¬са». Где ж ему догадаться, что угощают его как раз «из интереса»!
Хлестакову наносят визиты городские чиновники. Первым является Ляпкин-Тяикин, роняющий от волнения деньги на пол. Хлестаков вновь просит взаймы и обещает выслать долг из деревни. Просит он взаймы и у почтмейстера. Гоголь объясняет, что Хлестаков «просит денег, потому что это как-то само собой срыва¬ется с языка и потому, что уже у первого он попросил и тот с готовностью предло¬жил». Следующий посетитель — смотритель училищ — от неожиданных вопросов Хлестакова оробел. Заметив это, Хлестаков не может не похвастать: «...в моих глазах, точно, есть что-то такое, что внушает робость». Тут же он рассказывает про «престранный случай» и просит взаймы. Приходит Земляника. Наябедничав на своих приятелей чиновников: «для пользы отечества я должен это сделать», — оправдывает себя трусливый чиновник. Земляника рассчитывает улизнуть, не дав взятки. Однако Хлестаков, войдя в раж и уже начав привыкать к «доброте» город¬ских чиновников, возвращает Землянику, вновь просит взаймы и, конечно, доби¬вается своего.
Окончательно мы убеждается в том, что Хлестаков не сознает, что берет взят¬ки, читая сцену с Добчинским и Бобчинским. Один из них — «житель здешнего города», другой — помещик и никаких оснований для дачи взятки у них нет. Тем не менее, Хлестаков «Вдруг и отрывисто», даже не рассказывая о странном случае, о том, что «он в городе поиздержался», спрашивает: «Денег у вас нет?» Запросив тысячу рублей, готов согласиться на сотню и удовлетворяется шестьюдесятью руб¬лями.
Только теперь у него возникает мысль, что его «принимают за государственно¬го человека», но о том, что ему давали взятки, он еще не догадывается. Он по-пре¬жнему уверен, что чиновники — просто добрые бескорыстные люди. Наконец при¬ходят купцы с жалобами на «обижательство», которые они терпят от городничего. Купцы просят Хлестакова не побрезговать и взять от них продукты, но Хлестаков с достоинством отказывается: «Нет, вы этого не думайте, я не беру совсем никаких взяток».
Наконец-то до сознания Хлестакова дошел смысл происходящего — впервые он произносит слово «взятка», понимая под ним вещественные «подношения» со сто¬роны купцов. Но тут же он говорит: «Вот, если бы вы, например, предложили мне взаймы рублей триста, — ну тогда совсем другое дело: взаймы я могу взять.,.Изволь-те — взаймы я ни слова: я возьму».
АВ:ВС=7х:3х т е 10х=10 х=1см
Большая сторона АВ=7см