Чтобы доказать, что фигура АВСD - квадрат, необходимо чтобы:
1. Любые два противоположных отрезка (АВ и CD или ВС и AD) были параллельными - доказательство, что АВСD - фигура плоская.
2. Отрезки АВ, ВС, CD и AD были равными - доказательство, что ABCD - ромб или квадрат.
3. Любой из углов между пересекающимися отрезками был равен 90° - доказательство, что АВСD - квадрат.
Итак:
1.Два вектора коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны. В нашем случае:
вектор АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или АВ{-2-(-3);0-(-4);-3-5} или АВ{1;4;-8},
вектор CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{1-2;3-7;9-1} или CD{-1;-4;8}.
Отношения соответствующих координат: Xab/Xcd = Yab/Ycd = Zab/Zcd = -1. => вектора АВ и CD параллелны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости (через две параллельные прямые можно провести плоскость и только одну).
2. Найдем длины (модули) отрезков (векторов) по формуле
|a| = √(Xa²+Ya²+Za²):
Вектор АВ = √(1+16+64) = √75 ед.
Вектор CD = √(1+16+64) = √75 ед.
Вектор ВС = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²+(Zc-Zb)²) = √((2-(-2))²+(7-0)²+(1-(-3))²) = √(16+49+16)= √81ед.
Вектор AD = √((Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²+(Zd-Za)²) = √((1-(-3))²+(3-(-4))²+(9-5)²) = √(16+49+16)= √81ед.
Итак, данная нам фигура НЕ КВАДРАТ, но параллелограмм (по определению).
3. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Найдем скалярное произведение векторов АВ и ВС:
(АВ*ВС) = Xab*Xbc+Yab*Ybc+Zab*Zbc = 1*4+4*7+(-8)*4 = 32-32= 0.
Векторы АВ и ВС перпендикулярны. => ABCD - прямоугольник.
ответ: АВСD - прямоугольник.
По условию угол между образующей и высотой равняется α, т.е. <OSB=α.
Середина образующей (точка С) удалена от оси ОS на расстояние а, это значит АС=а, SС=СВ и АС перпендикулярно SО и параллельно ОВ.
Исходя из т.Фалеса (если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне) SА=АО, а это значит, что АС является средней линией ΔОSВ (она соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине), тогда ОВ=2АС=2a.
SB=OB/sin α=2a/sin α
SO= SB*cos α=2a*cos α/sin α=2а*сtg α
Объем конуса V= π*R²*H/3=π*ОВ²*SO/3=π*4a²*2a*ctg α/3=8a³*ctg α/3