Вравнобедренной трапеции высота равна 10, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. найдите площадь трапеции,если ее боковая сторона в 1,5 раза меньше ее большего основания
Трапеция АВСД : АД - большее основание, ВС - меньшее основание, АВ = СД - боковые стороны, АС -диагональ трапеции. АС I СД; Обозначим АВ = СД = х; тогда АД = 3х/2., ВН = 10 - высота трапеции
Рассмотрим ΔАСД. Найдём в нём катет АС = √((3х/2)² - х²) = (х√5)/2 Площадь ΔАСД равна: с одной стороны, половине произведения катетов, т.е. S = 0,5 АС·СД. А с другой стороны - половине произведения основания на высоту, т.е S = 0,5 AД·ВН. Приравняем правые части этих выражений 0,5 АС·СД = 0,5 АД·ВН АС·СД = АД·ВН (х√5)/2 · х = 3х/2 · 10 х²·√5 = 30х х ≠0 х√5 = 30 х = 30/√5 = 6√5 тогда большее основание равно АД = 3х/2 = 9√5 Рассмотрим ΔАВН и найдём катет АН по гипотенузе АВ = СД = х = 6√5 и катету ВН = 10, используя теорему Пифагора: АН = √(АВ² - ВН²)= √(36·5 - 100) =√80 = 4√5 Меньшее основание трапеции ВС = АД - 2АН = 9√5 - 2·4√5 = √5 Площадь трапеции равна S = 0,5 (АД + ВС)·ВН = 0,5(9√5 + √5)·10 = = 5·10√5 = 50√5 ответ: 50√5
Действительно: CB₁/AB₁=BC/BA =14/15 (свойство биссектрисы BB₁ в ΔABC) ⇒ CB₁=14k ,AB₁ =15k ,CA=CB₁+AB₁ =29k ⇒ CB₁/CA =14/29. --- аналогично : A₁P/PA=BA₁/BA =7/15 (свойство биссектрисы BP в ΔABA₁) ⇒A₁P=7m, PA =15m , A₁A=A₁P+PA) =22m ⇒ A₁P/A₁A =7/22.
Таким образом получили: S(A₁PB₁C) =S*14/29 -(S/2)*(7/22). Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона : S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√21(21-14)(21-15)(21-13) =√21*7*6*8 = √(7*7*3*3*2*2*4) =7*3*4 =84.
АС I СД; Обозначим АВ = СД = х; тогда АД = 3х/2., ВН = 10 - высота трапеции
Рассмотрим ΔАСД. Найдём в нём катет АС = √((3х/2)² - х²) = (х√5)/2
Площадь ΔАСД равна: с одной стороны, половине произведения катетов, т.е.
S = 0,5 АС·СД. А с другой стороны - половине произведения основания на высоту, т.е S = 0,5 AД·ВН. Приравняем правые части этих выражений
0,5 АС·СД = 0,5 АД·ВН
АС·СД = АД·ВН
(х√5)/2 · х = 3х/2 · 10
х²·√5 = 30х х ≠0
х√5 = 30
х = 30/√5 = 6√5
тогда большее основание равно АД = 3х/2 = 9√5
Рассмотрим ΔАВН и найдём катет АН по гипотенузе АВ = СД = х = 6√5 и катету ВН = 10, используя теорему Пифагора:
АН = √(АВ² - ВН²)= √(36·5 - 100) =√80 = 4√5
Меньшее основание трапеции ВС = АД - 2АН = 9√5 - 2·4√5 = √5
Площадь трапеции равна S = 0,5 (АД + ВС)·ВН = 0,5(9√5 + √5)·10 =
= 5·10√5 = 50√5
ответ: 50√5