В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.
Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y z - (-1)
1 - 1 2 – 0 0 - (-1)
0 - 1 0 – 1 -2 - (-1) = 0
x - 1 y z + 1 | x - 1 y
0 2 1 | 0 2
-1 -1 -1 | -1 -1 =
= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =
= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).
((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
Координаты, которые имеет точка М пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
{3x + y – 2z – 5 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).
-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).
Подставим их в уравнение плоскости.
3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,
3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,
(14/3)x = 28/3,
x = 28/14 = 2,
y = (1/3)*2 – (11/3) = -9/3 = -3,
z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.
Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.
Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.
М(2; -3; -1).
1.<А=40°
2. 18 см
Объяснение:
1. АВ=CD и BC=AD по условию, сторона BD общая доя двух треуголиников.
Соответственно по третьему признаку равенства треуголиников треугольники ABD и CBD равны
Исходя из этого имеем угол С равен углу А и равен 40°
2. Медиана делит сторону пополам. Исходя из этого получаем: АК=ВК=2 см, ВМ=СМ=3 см и АN=CN=4 см
АВ= АК+ВК=2АК=2*2=4 см
ВС= ВМ+СМ=2ВМ=2*3=6 см
АС= AN+CN=2CN=2*4=8 см
Периметр треугольника АВС=АВ+ВС+АС=4+6+8=18 см
3. Треугольник АВС равнобедренный, значит АВ=ВС. BM=BN по условию задачи. Соответственно получаем, что АМ=СN.
BD Медиана, значит получаем что АD=CD.
Так как треугольник АВС равнобедренный, соответственно угол А равен углу С.
По первому признаку равенства треугольников получаем, что треугольник MAD равен треугольнику NCD.
Из этого получаем, что MD=ND
