А) Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Угол АСР - развернутый и равен 180°. ОС и О1С - биссектрисы углов АСВ и РСВ, так как это отрезки, соединяющие центры окружностей и точку С, из которой проведены касательные к окружностям. Следовательно, <OCB+<O1CB=90°. Точно так же <OBC+<O1BC=90°. Значит сумма противоположных углов четырехугольника ВОСО1 равна 180° и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) Радиус вписанной в треугольник окружности равен r= S/p = √[(p-a)(p-b)(p-c)]/√p, где р - полупериметр треугольника. В нашем случае радиус ОM=√[6*4*2/12]=2. Тогда площадь треугольника АВС равна r*p=24, а площадь треугольника ОВС=(1/2)*ОМ*ВС=8. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле: Rвн=S/(p-b), где S- площадь треугольника. В нашем случае Rвн=24/(12-8)=6. Тогда площадь треугольника О1ВС=(1/2)*О1N*BC=(1/2)*6*8=24. Площадь четырехугольника ВОСО1 равна сумме площадей треугольников ОВС и О1ВС. Sboco1=8+24=32.
Четырехугольник NOMO1 - трапеция с основаниями ОM и O1N (так как ОM и О1N перпендикулярны ВС, а значит параллельны) и высотой MN (MN перпендикуляр к ОM и О1N). ОМ=2, О1N=6. Найдем MN. Есть свойство: Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника. То есть АР=р=12. Тогда СР=АР-АС=12-6=6. NC=CP=6 как касательные из одной точки. МС=р-АВ (по свойству отрезка стороны от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью). В нашем случае МС=12-10=2. Тогда MN=NC-МC=6-2=4. Площадь трапеции NOMO1=(1/2)*(OM+O1N)*MN=(1/2)*(2+6)*4=16. ответ: Sboco1=32, SMONO1=16.
AB = CD так как трапеция равнобедренная, ∠ВАD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников BAD и CDA, ⇒ ΔBAD = ΔCDA по двум сторонам и углу между ними.
Значит ∠CAD = ∠BDA. Тогда ΔOAD равнобедренный, прямоугольный, и его высота (ОН) является и медианой, проведенной к гипотенузе, значит, равна ее половине: ОН = AD/2
ΔВОС подобен ΔDOA по двум углам, значит и ОК = ВС/2
КН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 ⇒ высота равна средней линии.
