1.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Решение.
Треугольники HOBи KOB равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=3
PABC=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=16+6=22
ответ: 22
2. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.
S=1/2p*r
r=2s/p
Т.к треугольник ABC-равнобедренный, то AB=AC=30
По свойству касательных: АМ=АЕ=8, СЕ=СК=12,ВМ=КВ=12,значит ВС=24
По формуле Герона S треугольник = в корне p(p-a)(p-b)(p-c)
1) BO=DO (свойство параллелограммов). Тогда Ртр(aob) = AO + BO + 15, Pтр(aod) = AO + OB (подставили вместо OD, тк они равны) + 1.
Тогда: Paob - Paod = (AO+BO+15)-(AO+BO+1) = AO + BO + 15 - AO - BO - 1 = 15 - 1 = 14.
2) Тк дан параллелограмм, то угол BDA = углу DBC = 90° (свойство параллельных прямых и пересекающей их прямой) , те треугольник DBC прямоугольный, угол BCD (он же в условии C) = 45°, тогда угол BDC тоже равен 45° (свойство треугольников, сумма всех углов равна 180°) Следовательно треугольник DBC равнобедренный и BD=BC=7см. Дальше варианты:
1. гипотенуза DC = (BD²+BC²)^½ = (7²+7²)^½=7*(2)^½
2. CD = BD / sin(BCD) = 14/(2)^½
Можно избавиться от корня в знаменателе представив 14 как произведение 7 на корень из 2 на корень из 2 -> 14=7*(2)^½*(2)^½. Тогда один корень из числителя сократится с корнем из знаменателя и получим семь корней из двух.
Запись (x)^½ читается как x в степени ½, что эквивалентно "квадратный корень из х"
Смежными углами называются два прилежащих угла, не совпадающие стороны которых образуют прямую.
Смежные углы в сумме равны 180°".
<AOD и <DOB -смежные, значит <AOD + <DOB=180°.
<AOD и <AOС -смежные, значит <AOD + <AOC=180°.
Следовательно, <DOB=180°-<AOD и <AOC=180°-<AOD.
Значит <AOC =<DOB. Эти углы - вертикальные, они равны, что и требовалось доказать.
2). Прямая а параллельна прямой с. Прямая b параллельна прямой с. Следовательно, при пересечении этих прямых прямой d, образубтся равные соответственные углы <1=<3 и <2=<3. Но если два угла равны третьему, значит эти углы равны между собой. Итак, <1=<2 - а это соответственные углы при прямых a и b и секущей d. Следовательно, прямые a и b - параллельны, а не перпендикулярны.
3).В любом прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит в треугольниках АВО и СDO АВ=СD (противоположные стороны прямоугольника) АО=ОС, ВО=ОD и следовательно, треугольники АВО и СDО равны по трем сторонам. Точно также доказывается, что треугольники ВОС и АОD равны. Но сторона АВ не равна стороне АD, значит треугольники АОВ и АОD - не равны.
Но.
Sabd=(1/2)*AB*AD.
Sacd=(1/2)*CD*AD.
AB=CD как противоположные стороны прямоугольника.
Значит Sabd=Sacd.
Но Sabd=Sabo+Saod, a Sacd=Scdo+Saod, следовательно Sabo=Scdo.
В прямоугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам. то есть в треугольнике ABD отрезок АО - медиана. По свойству медианы она делит треугольник на два РАВНОВЕЛИКИХ. То есть Sabo=Saod.
Saod=Sboc (доказательство подобно приведенному для треугольников АВО и СDO)
Следовательно, Sabo=Saod=Scod=Sboc.
Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 РАВНОВЕЛИКИХ, треугольника и на 4 попарно равных.