Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание является и медианой и делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника (один катет общий, два других - половинки основания исходного тр - ка, также равны и гипотенузы как боковые стороны равнобедренного тр-ка) Это справедливо и для второго равнобедренного тр-ка. Имеем 4 равных прямоугольных треугольника (все гипотенузы равны и по теореме Пифагора), они попарно образуют равнобедренные тр-ки, которые тоже равны (равны основания и боковые стороны).
Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть c2 = a2 + b2, где c — гипотенуза треугольника.Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения: a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,где c — гипотенуза треугольника. Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства: h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношенияТеорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).4Последняя формула называется формулой Герона.Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла). Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть b : c = x : y.Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6) .Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы). Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы). Доказательства некоторых теоремДоказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов: BD2 = AB2 + AD2 – 2∙AB∙AD∙cos ∠BAD; CD2 = AC2 + AD2 – 2∙AC∙AD∙cos ∠CAD. Или, что то же самое, Выразим из каждого неравенства и приравняем полученные результаты:Применив теперь к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, чтоОтдельно преобразуем выражение cx2 – by2: Последнее равенство верно в силу того, что Имеем далее:
Если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме Пифагора.Доказательство теоремы 11. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (см. рис. 8). Имеем:С другой стороны, Приравнивая полученные двумя значения площади треугольника ABC, имеем:При этом мы использовали формулу Доказательство теоремы 13. Построим треугольник ABC и проведем в нем медиану AA1 (см. рис. 7). Применим в треугольниках AA1B и AA1C теорему косинусов:Или, что то же самое, где ϕ = ∠AA1B. Так как cos (π – ϕ) = –cos ϕ, сложив последние два равенства, получим:Решение задачЗадача 1. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM (рис. 9). Найти площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b. Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому AM = BM = b, откуда AL = b – a, LB = b + a. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: Применив теперь к треугольнику ABC теорему Пифагора, получим: откудаА искомая площадь равна ответ: Задача 2. В треугольнике ABC задана точка M на стороне AC, соединенная с вершиной B отрезком MB (рис. 10). Известно, что AM = 6, MC = 2, ∠ABM = 60°, ∠MBC = 30°. Найти площадь треугольника ABC. Решение. Применим к треугольникам ABM и BCM теорему синусов:Так как треугольник ABC прямоугольный, то Разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin ∠AMB = sin ∠BMC находим, что откуда ∠ACB = 60°. Значит, площадь треугольника ABC равна ответ:
<1=x, <2=x+60°
x+x+60°=180°
x=60°
<1=60°
<2=120°