24.63
ΔABC и ΔAED имеют общий угол (∠A) ⇒ их площади относятся как произведения сторон, прилежащих общему углу, то есть:
SΔABC ÷ SΔAED = (AB·AC)÷(AE·AD).
AB = 12 + 8 = 20 см
AC = 10 см
AD = 10 + 14 = 24 см
AE = 8 см
SΔABC ÷ SΔAED = 200 ÷ 192 = 25 ÷ 24, то есть площади относятся как 25 к 24
24.64
Соединим A с E (см. рисунок).
Рассмотрим ΔAEC (= ΔAED) и ΔECG (= ΔEDB)
SΔAED ÷ SΔBDE = AD ÷ BD = 1 ÷ 4 (отношение площадей треугольников с равными высотами) ⇒ SΔABC = 2·SΔAED + SΔBDE = 2·SΔAED + 4·SΔAED = 6·SΔAED ⇒ SΔAED = 1,8 ÷ 6 = 0,3 см²
S(ACED) = 2·SΔAED = 0,6 см².
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Двa треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и cтороны одного cходственным сторонам другого.
Пропорциональные отрезки это отрезки для длин которых выполняется пропориция. Отноншение отрезков AB/CD есть отношение длин этих отрезков.