Внекоторый момент времени длина тени колокольни софиевского собора ( г . киев ) равна 19 м , а длина тени фонарного столба , стоящего около колокольни , — 1,5 м . какая высота колокольни , если высота столба равна 6 м ?
Находим координаты точки М - середины стороны ВС: М((3+2)/2=2,5; (4+1)/2=2,50 = (2,5; 2,5). Уравнение медианы АМ : (Х-Ха)/(Хм-Ха) = (У-Уа)/(Ум-Уа). Подставив координаты точек, получаем каноническое уравнение:: , или приведя к целым знаменателям Приведя к общему знаменателю, получаем обще уравнение медианы АМ: Х - 9У + 20 = 0. Или в виде уравнения с коэффициентом: у = (1/9)х + (20/9).
Высота АД перпендикулярна АС, поэтому составляем уравнение стороны АС: АС: (х+2)/4 = (у-2)/-1, АС: х+4у-6=0, АС: у = -(1/4)х+(6/4). Коэффициент а высоты ВД равен -1/(-(1/4)) = 4. Подставим координаты точки В: 4= 4*3+С, отсюда С = 4-12 =-8. Уравнение высоты ВД: у = 4х-8.
Для определения углов нужны длины сторон: АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √29 ≈ 5.385164807, BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈ 3.16227766, AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √17 ≈ 4.123105626.
cos C= (АC²+ВС²-АВ²)/(2*АC*ВС) = -0.076696 (по теореме косинусов). Угол С равен 1.647568 радиан или 94.39871 градусов.
Пусть мы имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и высотой АД. Примем АД = 1, а ВС = 4. Обозначим ВД за х, а ДС за 4-х . Угол АВД равен углу ДАС как взаимно перпендикулярные. Приравняем тангенсы этих углов: 1/х =(4-х)/1. Получаем квадратное уравнение х²-4х+1=0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-4)^2-4*1*1=16-4=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√12-(-4))/(2*1) = (√12+4)/2=2√3/2+4/2 = 2+√3 ≈ 3.7320508;x₂=(-√12-(-4))/(2*1)=(-√12+4)/2=-2√3/2+4/2 = 2-√3 ≈ 0.2679492 этот корень равен 4-х, то есть это значение ДС.
Теперь находим углы В и С. Угол В = arc tg(1/(2+√3)) = arc tg 0.267949 = 0.261799 радиан =15°. Угол С = arc tg(1/(2-√3)) = arc tg 3.732051 = 1.308997 радиан = 75°.
, или приведя к целым знаменателям 
х/19=6/1.5
х=76 м