Доказательство
1) Возьмем произвольную точку M на биссектрисе угла BAC, проведем перпендикуляр MK и ML к прямым AB и AC
Рассмотрим прямоугольные треугольники AMK и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу. (AM - общая гипотенуза, ∠1∠2 по условию\). Следовательно, MKML
2) Пусть точка M лежит внутри угла BAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Докажем, что луч AM - биссектриса угла BAC
Проведем перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML - равны по гипотенузе и катету (AM - общая гипотенуза, MKML по условию ). Следовательно, ∠1∠2. Но это и значит, что луч AM - биссектриса угла BAC. Теорема доказана
Нужно найти гипотенузу АВ.
Из прямоугольного ΔАСН найдем АН:
АН²=АС²-СН²=42²-(21√3)²=441
АН=21
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы:
СН=√АН*ВН
ВН=СН²/АН=(21√3)²/21=63
АВ=АН+ВН=21+63=84
sin ABC=42/84=1/2.