Впрямоугольном треугольнике abc ((c = 900) с катетами 3 и 4 провели высоту ch. в получившиеся треугольники ach и bch вписали две окружности, которые касаются ch в точках k и l. найти длину отрезка kl
Рисунок в файле Итак , для простоты записей введем АС=b BC=a AB=c AH=x BH=y CH=h 1)Как мы видим, R=KH, r=LH отсюда KL=R-r 2)т.к. АВС- прямоугольный с катетами 3 и 4, тогда гипотенуза АВ=с=5 3)треуг. ACH и АВС подобны, поэтому х/АС=АС/АВ х/3=3/5 х=9/5 у=5-9/5=16/5 4) CH находим из площади АВС a*b/2=c*h/2 3*4=5*h h=12/5 5)из треугольников АСН и ВСН находим радиусы вписанных окружностей. можно через формулу площади (r=2S/(a+b+c), но так как треуг. прямоугольные, то воспользуемся формулой (r=(a+b-c)/2 -сумма катетов минус гипотенуза и все делить на 2- эта формула выводится за пять секунд в пол-строчки)
3 см Так как треугольник равносторонний, то все его стороны равны. АВ=ВС=АС=2√3Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Медиана ВН (она же биссектриса, она же высота) делит треугольник АВС на два треугольника. B AHC Рассмотрим треугольник АВН: Т. к ВН-биссектриса, то угол АВН=30° (т. к в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).Треугольник АВН - прямоугольный (т. к ВН еще и высота). По св-ву прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 30°:АВ - гипотенуза треугольника АВН. АН - катет, лежащий против угла в 30°.Значит, АН=1/2*АВАН=1/2*2√3АН=√3Теперь, по теореме Пифагора найдем сторону ВН. АВ2=ВН2+АН2(2√3)2=х2+(√3)2(√12)2=х2+312=х2+3 ==> х2=9 х=3ВН=3 см. ответ: ВН=3 см
Итак , для простоты записей введем
АС=b BC=a AB=c AH=x BH=y CH=h
1)Как мы видим, R=KH, r=LH отсюда KL=R-r
2)т.к. АВС- прямоугольный с катетами 3 и 4, тогда гипотенуза АВ=с=5
3)треуг. ACH и АВС подобны, поэтому х/АС=АС/АВ х/3=3/5 х=9/5
у=5-9/5=16/5
4) CH находим из площади АВС a*b/2=c*h/2 3*4=5*h h=12/5
5)из треугольников АСН и ВСН находим радиусы вписанных окружностей.
можно через формулу площади (r=2S/(a+b+c), но так как треуг. прямоугольные, то воспользуемся формулой (r=(a+b-c)/2 -сумма катетов минус гипотенуза и все делить на 2- эта формула выводится за пять секунд в пол-строчки)
r=(9/5+12/5-3)/2=3/5
R=(16/5+12/5-4)/2=4/5
KL=R-r=4/5-3/5=1/5=0.2