Question

Впрямоугольном параллелепипеде стороны основания относиться 2: 1 , а диагональные сечения есть квадрат с площадью 25. найти объем параллелепипеда?

Answer 1

Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, сторону диагонального сечения как c, а высоту параллелепипеда как h.

Запишем условия задачи математически:

a = x - обозначим размер одной стороны как x.
Условие "отношение сторон есть 2:1" можно записать в виде: 
b = 2*a

Подставив x получаем:
b = 2*x

Площадь квадратного сечения можно представить так:
c * c = 25 

Откуда мы сразу же получаем значение для стороны сечения:
c = 5.

К тому же, можно заметить, что h = c, т.к. сечение параллелепипеда есть квадрат!

Вспомним формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h 

Подставим в формулу значения:
$V = 2*x * x * 5$

Упростим:
$V = 10x^{2}$

Чтобы на основе найденных значений мы получили a и b, рассмотрим как связаны между собой a, b и c.

Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (потому что наш параллелепипед прямоугольный, а значит угол между отрезками a и b равен 90 градусов).

Составим уравнение по теореме Пифагора:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Теперь подставим для всех сторон соответствующие значения:
$x^{2} + 4x^{2} = 25$

Далее:
$5x^{2} = 25$

Итого получаем:
$x^{2} = 5$

Решать это уравнение дальше нам не нужно, так как в формуле для объёма у нас есть $x^{2}$ !

Просто подставляем найденное значение в формулу объёма и получаем ответ:
 
$V = 10 * 5 = 50$