Question

Дана трапеция abcd с основаниями ad и вс. биссектриса угла сdа проходит через середину боковой стороны ав. а) докажите, что сумма оснований трапеции равна боковой стороне cd. б) найдите площадь трапеции abcd, если известно, что ab =8, вс=2, cd=10.

Answer 1

Биссектриса угла СДА проходит через середину АВ (точка Е) и пересекает продолжение основания СВ (точка К)
АЕ=ЕВ
<АДЕ=<СДЕ
ΔКВЕ=ΔДАЕ по стороне (АЕ=ЕВ) и двум прилежащим углам (<КЕВ=<ДЕА как вертикальные, <ДАЕ=<КВЕ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей АВ). Значит АД=КВ и КЕ=ЕД.
В ΔКСД <СКД=<СДК, т.к. <СКД=<АДК  как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей КД, а <СДК=<АДК по условию. Значит этот треугольник равнобедренный КС=СД.
КС=КВ+ВС=АД+ВС
Значит СД=АД+ВС, что  и требовалось доказать.
б) АВ=8, ВС=2, СД=10, АД=СД-ВС=10-2=8.
Найти площадь трапеции, зная все ее  стороны, можно несколькими Например, в трапеции АВСД  опустим высоты ВН и СМ на нижнее основание АД (ВН=СМ). 
Обозначим АН=х, МД=у, НМ=ВС=2
АД=АН+НМ+НД=х+2+у
ВН²=АВ²-АН²=64-х²
СМ²=СД²-МД²=100-у²
Получается система уравнений:
х+у+2=8
64-х²=100-у²
у=6-х
(6-х)²-х²=100-64
36-12х+х²-х²=36
х=0
Значит ВН=8
Площадь трапеции АВСД:
Sавсд=ВН(АД+ВС)/2=8(8+2)/2=40