ответ: стороны треугольника 13; 14; 15
Объяснение: проведенные отрезки - это биссектрисы данного треугольника (центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника);
получившиеся треугольники имеют равные высоты - это радиус вписанной окружности (любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла; радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной)
площади треугольников, имеющих равные высоты относятся как основания; получим отношения сторон треугольника (для определенности обозначим сторону (а) у треугольника с площадью 30; сторона (b) у треугольника площадью 28; (с) для площади 26):
а/b = 30/28 = 15/14
a/c = 30/26 = 15/13
b/c = 28/26 = 14/13
можно записать три стороны:
a = 15c/13; b = 14c/13 и с.
площадь всего треугольника = 30+28+26 = 84 и она связана со сторонами по формуле Герона)
полупериметр = ((15/13)+(14/13)+1)*(c/2) = 21c/13
84 = корень из((21с/13)*(6c/13)*(7c/13)*(8c/13))
84 = 7*3*4*c^2/169
c^2 = 169
c = 13
b = 14
a = 15
По свойству касательных, проведенных из одной точки (отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны):
АК=АЕ=х
ВЕ=ВН=АВ-АЕ=5-х
СК=СН
Т.к. СК=АС-АК=9-х , а СН=ВС-ВН=8-5+х=3+х
Приравниваем 9-х=3+х, откуда х=3
Значит АК=3, тогда СК=9-3=6.
По свойству биссектрисы:
АВ/АМ=ВС/СМ или АМ/СМ=АВ/ВС=5/8
СМ=8АМ/5=1,6АМ,
АМ+СМ=АС
АМ+1,6АМ=9
АМ=9/2,6=45/13
КМ=АМ-АК=45/13-3=6/13
.