Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.
––––––––––––––––
АН и СН - касательные к окружности.
АВ - секущая, АК - её внешняя часть.
АВ=3, АК=0,5 АВ=1,5
СВ - секущая, СМ - её внешняя часть
СВ=5, СМ=СВ:2=2,5
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. ⇒
АН ²=АВ•AK=3*1,5=4,5=450/100
АН=√4,5=√(450/100)=√(9*25*2:100)=(3•5√2)/10=1,5√2
СН²=СВ•CM=5*2,5=1250/100
CH=√(25•25•2/100)=(25√2)/10=2,5√2
АС=АН+СН=1,5√2+2,5√2=4√2
- 1) векторный,
- 2) геометрический.
2) Для нахождения угла между скрещивающими прямыми надо одну из них перенести параллельно в общую точку.
АВ₁ = √(1²+1²) = √2.
ВЕ₁ = √(2²+1²) = √5.
Перенесём отрезок АВ₁ в точку В - это будет отрезок ВВ₂.
Получаем треугольник ВВ₂Е₁.
Отрезок В₂Е₁ = √((1/2)²+(3*1*cos 30)) = √((1/4)+9*3/4) = √(28/4) = √7.
Отсюда видно, что квадрат В₂Е₁ равен сумме квадратов АВ₁ и ВЕ₁. Поэтому искомый угол равен 90 градусов.