Question

Две окружности радиусов 3 и 12 внешне касаются в точке к. обе окружности касаются одной прямой: большая – в точке а, меньшая – в точке в. прямая ак пересекает меньшую окружность в точке с, прямая вк пересекает большую окружность в точке d. найти площадь четырехугольника авсd.

Answer 1

 Впишем наши окружности , в  ось $OXY$ , так , что точка $A(0;0)$ , точка  $B$  очевидно будет иметь координаты , равными $x= \sqrt{(3+12)^2-(12-3)^2} = 12 , то есть$ $B(12;0)$ 
Опишем уравнения окружности , и решим систему 
$\left \{ {{ (x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { x^2+(y-12)^2=12^2}} \right.$ 
Решениями системы, $x= \frac{48}{5} ; y = \frac{24}{5}$ то есть координаты $K( \frac{48}{5}; \frac{24}{5} )$. 
Найдем координаты , точек $C;D$ 
Уравнения прямой $AС\\ 3x+4y=48\\$ 
 уравнения прямой другой $2x+y=24$  
Решая их с полученными , уравнениями окружности         
$(x-12)^2 + (y-3)^2 = 3^2 } \atop { 3x+4y=48 }$                          
$C(\frac{72}{5}: \frac{6}{5})$     
$x^2+(y-12)^2=12^2\\ 2x+y=24 \\$ 
$D(0;24)$       
То есть $AD$ диаметр окружности  
$BC = \frac{6\sqrt{5}}{5}$ 
$CD = \frac{6\sqrt{505}}{5}$      
$BD = \sqrt{12^2+24^2 } = 12\sqrt{5}$    
 Откуда  $S_{BCD} = 36$ 
 
 Значит $S_{ABCD} = 36+S_{ABD} = \frac{24*12}{2}+36 = 180$