Пусть P - произвольная точка
PK, PL, PM - перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
По теореме Пифагора для треугольников PAK и PBK
PK^2 =PA^2 -AK^2 =PB^2 -BK^2 <=> PA^2 -PB^2 =AK^2 -BK^2
(Доказали, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций.)
PB^2 -PC^2 =BL^2 -CL^2
PC^2 -PA^2 =CM^2 -AM^2
Сложим:
AK^2 -BK^2 +BL^2 -CL^2 +CM^2 -AM^2 =0 <=>
AK^2 +BL^2 +CM^2 =CL^2 +BK^2 +AM^2
Если перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, то выполняется это равенство.
(Обратное док-во: разность квадратов наклонных для двух пересекающихся перпендикуляров подставляем в доказанное равенство - получаем разность квадратов наклонных для третьего отрезка - тогда он также является перпендикуляром.)
Проверим данные из условия
AK=BK=6, BL=AM=1
CM= {9, 11}
CL= {7, 9}
CM^2 =CL^2 в одном случае:
точка M на стороне, точка L на продолжении стороны.
Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда отрезки сторон треугольника равны 5х и 8х соответственно (см. на рисунке).
Воспользуемся двумя формулами площади треугольника:
S = pr, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности,
S = √(p·(p - a)(p - b)(p - c)) - формулой Герона.
√(p·(p - a)(p - b)(p - c)) = pr
Пусть а и b - боковые стороны, с - основание.
а = b = 13х, с = 10х.
р = (13x + 13x + 10x)/2 = 18x
Получаем уравнение:
√(18x · 5x · 5x · 8x) = 18x · 10
5x · 3 · 4x = 180x
60x² - 180x = 0
x(x - 3) = 0
x = 3 (х = 0 не подходит по смыслу задачи)
с = 10х = 30 см