Question

Цилиндр описан вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом 60°. вычислите объем призмы, если радиус основания цилиндра равен 40 см и диагональ большей боковой грани образует с плоскостью основания призмы угол 60°

Answer 1

Добрый день! Давайте разберемся с этой задачей пошагово. Первым шагом, чтобы вычислить объем призмы, нам необходимо найти площадь основания призмы. Поскольку основанием является прямоугольный треугольник, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника. Площадь треугольника можно найти, зная длины его катетов (сторон, образующих прямой угол). В данной задаче, мы знаем, что угол между диагональю большей боковой грани и плоскостью основания призмы равен 60°. Поскольку это прямоугольный треугольник, у которого один острый угол равен 60°, мы можем сказать, что угол между плоскостью основания и одним из катетов также равен 60°. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором угол равен 60°. Нам нужно найти длины катетов. Для этого, давайте воспользуемся формулой синуса: sin(угол) = противолежащая сторона / гипотенуза. Так как мы знаем, что сторона, противолежащая углу 60°, равна радиусу цилиндра и равна 40 см, а гипотенуза - длина большей боковой грани, давайте обозначим ее как h. sin(60°) = 40 / h. Теперь, найдем sin(60°). Значение sin(60°) равно √3 / 2. Теперь можем записать уравнение: √3 / 2 = 40 / h. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2: √3 = (40 / h) * 2. Теперь, чтобы найти h, разделим обе части уравнения на √3: h = 80 / √3. Теперь у нас есть длина большей боковой грани призмы. Вторым шагом, чтобы вычислить объем призмы, необходимо найти площадь основания призмы. Поскольку одним из оснований является прямоугольный треугольник, площадь его можно найти по формуле для площади треугольника: Площадь основания = (основание * высота) / 2. У нас есть прямоугольный треугольник, где больший катет равен 40 см, а меньший катет равен h. Таким образом, основание прямоугольного треугольника равно 40 см, а высота равна h. Подставим эти значения в формулу: Площадь основания = (40 * h) / 2 = 20h. Таким образом, площадь основания равна 20h. Третий и последний шаг - вычисление объема призмы. Объем призмы можно вычислить, умножив площадь основания на высоту призмы. В данной задаче, высота призмы равна h, а площадь основания равна 20h. Таким образом, объем призмы равен (20h * h) = 20h^2. Подставим значение h: Объем призмы = 20 * (80 / √3)^2. Теперь нам осталось только вычислить эту формулу для получения окончательного ответа. Я надеюсь, что объяснение было понятным и помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать."