он прямоугольный. обратим внимание, что ск- катет, ас- гипотенуза. ск- ровно половина гипотенузы( 21,4*2=48,8). есть теорема: катет, лежащий против угла в 30гр. равен половине гипотенузы. значит угол а=30гр.
2. в равнобедренном треуг углы при основании равны. значит∠а=∠в=30гр
3. сумма углов треуг= 180гр. 30+30=60гр- сумма ∠а и ∠в
Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2.
Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку ∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒ ∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°, а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.
Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒ R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)= 1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2
Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт
На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1. Обозначим КО = 2х. а МО = х. Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)². 5х² = 1600, х² = 1600/5 = 320, х = √320 = 8√5.
Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины. Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5. Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5. То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный. МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.
Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов. Находим угол MКO. tg<MKO = x/2x = 1/2. <MKO = arc tg(1/2) = 0,463648 радиан = 26,56505°. Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5. tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4. <ОКМ1 = arc tg(1/4) = 0,244979 радиан = 14,03624°. Угол К равен сумме МКО и ОКМ1: <К = 26,56505° + 14.03624° = 40,60129°. Находим угол N. sin N/40 = sin K/(16√10), sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 = 0,514496. Угол N = arc sin 0,514496 = 0,54042 радиан = 30,96376°. Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° = 108,4349°. KN = sin M*40/sin N = 0,948683*40/0,514496 = 73,75636. Периметр треугольника равен 164,3528026.
1. рассмотрим треуг. авк.
он прямоугольный. обратим внимание, что ск- катет, ас- гипотенуза. ск- ровно половина гипотенузы( 21,4*2=48,8). есть теорема: катет, лежащий против угла в 30гр. равен половине гипотенузы. значит угол а=30гр.
2. в равнобедренном треуг углы при основании равны. значит∠а=∠в=30гр
3. сумма углов треуг= 180гр. 30+30=60гр- сумма ∠а и ∠в
180-60=120гр.- ∠с