Question

Кто может с решением и пояснением? нужно.заранее . в прямоугольном треугольнике abc известны: уравнение медианы 3x − 4y + 8 = 0, проведённой из вершины a(0, 2) прямого угла, и вершина b(2, 1). найдите координаты (x0,y0) вершины c треугольника.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности.
Он находится на пересечении срединных перпендикуляров, а так как уравнение одной медианы уже есть, то для получения этой точки достаточно наличие ещё одного перпендикуляра.
Находим уравнение стороны АВ по известным координатам этих точек:
$AB= \frac{x-0}{2-0} = \frac{y-2}{1-2}$
$AB= \frac{x}{2} = \frac{y-2}{-1}$.
Выразим относительно у:
-х = 2у - 4
у = -(1/2)х + 2.
Находим координаты середины стороны АВ (точка К):
К((2+0)/2=1; (1+2)/2=1,5) = (1; 1,5).
Коэффициент к перпендикуляра КО равен -1/к(АВ) = -1 / (-1/2) = 2.
Уравнение КО: у = 2х + в.
Параметр в находим по координатам точки К:
1,5 = 2*1 + в
в = 1,5 - 2 = -0,5.
Получаем уравнение перпендикуляра КО:
у = 2х - 0,5.
Находим координаты точки О, приравняв уравнения медианы и перпендикуляра КО, которые пересекаются в точке О:
Заданное уравнение медианы 3х - 4у + 8 = 0 выразим относительно у: $y= \frac{3}{4}x+2$
$\frac{3}{4}x+2=2x-0.5$
(0.75 - 2)*x = -0.5 - 2
-1.25x = -2.5
x = -2.5 / -1.25 = 2
y = 2*2 - 0.5 = 3.5.
О(2; 3,5).
Точка С симметрична точке В относительно точки О:
Хс = 2Хо - Хв = 2*2 - 2 = 2
Ус = 2Уо - ув = 2*3,5 - 1 = 6.
ответ: С(2; 6).