Question

Вравностороннем треугольнике abc со стороной a проведена высота bd. вычислите скалярное произведение векторов: а) ab*ac; б) ac*cb; в) ac*bd; г) ac*ac

Answer 1

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

а)
$(\vec{AB}\cdot \vec{AC})=AB\cdot AC\cdot \cos BAC$
По условию все стороны треугольника равны а, а все углы равностороннего треугольника равны 60 градусов:
$(\vec{AB}\cdot \vec{AC})=a\cdot a\cdot \cos \frac{ \pi }{3} =a\cdot a\cdot \frac{ 1 }{2} = \frac{a^2}{2}$

б)
$(\vec{AC}\cdot \vec{CB})=AC\cdot CB\cdot \cos (\vec{AC}; \ \vec{CB})$
Чтобы определить угол между векторами АС и СВ нужно совместить их начала, например, перенести параллельным переносом вектор АС так, чтобы точка А совместилась с точкой С. Тогда будет видно, что углом между этими векторами будет угол, смежный с углом АСВ, равный 180-60=120 градусов:
$(\vec{AC}\cdot \vec{CB})=a\cdot a\cdot \cos \frac{ 2\pi }{3} =a\cdot a\cdot(- \frac{ 1 }{2} )= -\frac{a^2}{2}$

в)
$(\vec{AC}\cdot \vec{BD})=AC\cdot BD\cdot \cos (\vec{AC}; \ \vec{BD})$
Так как BD высота к АС, то векторы ВD и АС перпендикулярны, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0:
$(\vec{AC}\cdot \vec{BD})=AC\cdot BD\cdot \cos \frac{ \pi }{2} =AC\cdot BD\cdot 0=0$

г)
Произведение вектора само на себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля, угол в данном случаем между одним и тем же вектором равен нулю:
$(\vec{AC}\cdot \vec{AC})=AC\cdot AC\cdot \cos 0=AC^2\cdot1=AC^2=a^2$