Дан ΔАВС. Периметр Р(АВС)=14 см. Продолжим сторону АС треугольника АВС за точки А и С , получим прямую ДЕ. Проведём биссектрису АК угла ВАД, а также биссектрису СМ угла ВСЕ. ВК⊥АК и ВМ⊥СМ Продолжим высоты ВК и ВМ до пересечения с ДЕ. На ДЕ получим точки Д и Е. Так как АК и СМ - биссектрисы и высоты одновременно в ΔАВД и ΔВСЕ, то эти треугольники равнобедренные ⇒ АВ=АД и ВС=СЕ. Высоты АК и СМ в равнобедренных треугольниках АВД и ВСЕ являются ещё и медианами , значит точка К - середина ВД, а точка М - середина ВЕ. Рассм. ΔВЕД: КМ - средняя линия ΔВЕД. ДЕ=ДА+АС+СЕ=АВ+АС+ВС=Р(АВС)=14 см Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельно которой она проходит, то есть КМ=1/2*ДЕ=1/2*14=7 см.
Треугольник АВС, АВ=ВС=АС, О-центр треугольника пересечение-высот=биссектрисам=медианам, МО=6, МА=МВ=МС=12, проводим высоту ВН на АС, треугольник МВО прямоугольный, ВО=корень(МВ в квадрате-МО в квадрате)=корень(144-36)=6*корень3, медианы при пересечении делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО/ОН=2/1, ОН=ВО/2=6*корень3/2=3*корень3, проводим перпендикуляр МН на АС, треугольник МОН прямоугольный, МН=корень(МО в квадрате+ОН в квадрате)=корень(36+27)=3*корень7 - т.к треугольник АВС равносторонний то все высоты проведенные на стороны треугольника с вершины М=3*корень7
решение представлено на фото