Дано :
Четырёхугольник ABCD — квадрат.
AD = 1 (ед).
BD — диагональ = √2 (ед).
Найти :
соs(∠BDA) = ?
Квадрат — четырёхугольник, всё стороны которого равны, а все углы прямые.
Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В нашем случае катет, прилежащий к ∠BDA — AD, а гипотенуза — BD (так как лежит против прямого угла).
То есть —
cos(∠BDA) = AD/BD
cos(∠BDA) = 1 (ед) / √2 (ед)
cos(∠BDA) = 1/√2
Или —
cos(∠BDA) = (√2)/2 (одно и тоже).
(√2)/2.
Дано: АD⊥АС, АD ⊥АВ. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, АD перпендиулярна плоскости АВС.
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.⇒
АD⊥ВС
Наклонная DС⊥ВС по условию, АС - проекция DС на плоскость АВС. По т. о 3-х перпендикулярах АС⊥ВС, и ∆ АВС прямоугольный с прямым углом АСВ.
ВС⊥DC ( дано), ВС⊥АС ( найдено). ⇒ ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ADC, следовательно, ВС перпендикулярна плоскости АDC.
Площадь прямоугольного ∆ АВС=АС•ВС:2=3•4:2=6 (ед. площади)