ответ: 9√3 см³
Объяснение:
Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. В прямоугольнике - это точка пересечения диагоналей.
Итак, SO - высота пирамиды, тогда ОА - проекция бокового ребра SA на плоскость основания, следовательно ∠SAO = 45° - угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
ΔSOA прямоугольный, острый угол равен 45°, значит он равнобедренный.
см (так как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а равна а√2 )
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам:
BD = АС = 2АО = 6 см
Sabcd = 1/2 AC · BD · sin∠AOD
Sabcd = 1/2 · 6 · 6 · √3/2 = 9√3 см²
V = 1/3 Sabcd · SO = 1/3 · 9√3 · 3 = 9√3 см³
Есть теорема о том, что Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Поэтому можно сразу сказать, что искомая площадь равна 1/6 площади исходного треугольника.
_______
В ∆АВВ1 и ∆В1ВС основания равны, высота общая. По формуле S=a•h/2 их площади равны. ⇒ S∆ ABB1=1/2 S∆ ABC.
По т. о медианах треугольника точка пересечения двух его медиан делит каждую из этих медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
⇒ в ∆ АОВ1 основание ОВ1 в два раза меньше основания ВО в ∆ АОВ.
Высоты обоих треугольников, проведенные к основаниям, совпадают. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению длин их оснований.
⇒S∆АОВ1:S∆AOB=1/2 , и площадь треугольника АОВ1 равна половине площади ∆ АОВ, или 1/3 половины площади ∆ АВО.
А т.к. S ∆ ABB1=1/2 S ∆ ABC, то S ∆ АОВ1=1/6 площади ∆ АВС=Q/6
Если провести против каждого угла средние линии данного треугольника, то получим четыре равных треугольника.
МН=АК=АС
МК=ВН=НС
НК=ВМ=АМ
Действительно, стороны треугольника, получившегося при соединении середин сторон исходного треугольника, вдвое меньше его сторон.
Т.е. получится в центре один треугольник и вокруг него еще 3, с равными сторонами: каждая из сторон всех 4-х треугольников равна половине стороны исходного, которой она параллельна. Осталось только разрезать треугольник.