Question

Явас i. даны точки а(–3; 5; –6), в(5; –2; 4), с(0; 4; 3), d(–6; –3; 0). найти: 1) координаты ad вектор 2) расстояние между точками b и d 3) координаты середины м отрезка ав 4) ab вектор *cd вектор 5) угол между векторами ab и сd 6) угол между прямыми ad и вс 7) (ac вектор+bd вектор )*cb вектор 8) коллинеарны ли векторы ab и cd? (ответ обосновать)

Answer 1

1) вектор AD (-6 - (-3); -3 - 5; 0 - (-6) ) = (-3; -8; 6)
координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора

2) Расстояние между  точками B и D это длина вектора  BD
Вектор BD( -6 - 5; -3 - (-2); 0 - 4) = (-11; -1; -4)
Длина вектора это квадратный корень из суммы квадратов координат вектора т.е. $\sqrt{ (-11)^{2} + (-1)^{2} + (-4)^{2} }$ = $\sqrt{138}$

3) Координаты середины отрезка это полусумма координат концов отрезка. Т.е.
точка М ( (-3+5)/2; (5 + (-2))/2 ; (-6+4)/2 ) = (1; 1,5; -1)

4) Произведение векторов AB и CD это сумма произведений их координат.
Сначала найдем вектора.
AB (5-(-3); -2-5; 4-(-6)) = (8;-7; 10)
CD (-6-0; -3-4; 0-3) = (-6; -7; -3)
Теперь перемножим координаты векторов и сложим их
AB * CD = 8*(-6) + (-7)*(-7) + 10*(-3) = -48+49-30 = -29

5) Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
Как уже было найдено в п4
AB (8;-7; 10) , CD (-6; -7; -3) и AB * CD = -29
Модуль |AB| равен $\sqrt{ 8^{2} + (-7)^{2} + 10^{2} } = \sqrt{213}$ 
Модуль |CD| равен $\sqrt{ (-6)^{2} + (-7)^{2} + (-3)^{2} } = \sqrt{ 94 }$

Тогда $cos( \alpha ) =$ AB * CD / |AB| * |CD| = $\frac{-29}{ \sqrt{213} * \sqrt{94} }$ что приблизительно равно  -0,204948276

6) Аналогично пункту 5
Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
Как уже было найдено ранее 
вектор AD (-3; -8; 6)
Найдем вектор ВС
Вектор ВС (0-5; 4-(-2); 3-4) = (-5; 6; -1)
Теперь найдем AD * ВС = (-3)*(-5) + (-8)*6 + 6*(-1) = -39
Модуль |AD| равен $\sqrt{ (-3)^{2} + (-8)^{2} + 6^{2} } = \sqrt{109}$ 
Модуль |ВС| равен $\sqrt{ (-5)^{2} + 6^{2} + (-1)^{2} } = \sqrt{ 62 }$

Тогда $cos( \alpha ) =$ AD * ВС / |AD| * |ВС| = $\frac{-29}{ \sqrt{109} * \sqrt{62} }$ что приблизительно равно   -0,352767774

7) Вектор BD уже был найден BD(-11; -1; -4)
Вектор CB= - ВС =  (5; -6; 1)
Найдем вектор AC (0-(-3); 4-5; 3-(-6) ) = (3; -1; 9)
Найдем сумму векторов AC и BD 
AC(3; -1; 9) + BD(-11; -1; -4) = (3 + (-11); -1 + (-1); 9 + (-4) ) = (-8; -2; 5)
Теперь найдем произведение этого вектора на CB(5; -6; 1)
Произведение векторов равно (-8; -2; 5) * (5; -6; 1) = (-8)*5 + (-2)*(-6) + 5*1 = -23

8) Условие коллинеарности это пропроциональность координат векторов (если они не равны нулю)
В нашем случае  AB(8;-7; 10) и CD(-6; -7; -3) не имеют нулевых координат, значит можно проверить на пропорциональность.
Очевидно 
$\frac{8}{-6} \neq \frac{-7}{-7} \neq \frac{10}{-3}$
Следовательно вектора не коллинеарны.