На боковых сторонах ab и bc равнобедренного треугольника abc отметили соответственно точки e и f такие, что ae = cf. докажите, что угол ace = углу caf.
См. рисунок в приложении Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°. Соединяем точку А₁ с точкой D. В треугольнике АА₁D AA₁=2 м AD=1 м ∠A₁AD=60° По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3 A₁D=√3 м Треугольник A₁AD- прямоугольный по теореме обратной теореме Пифагора: АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )² A₁D⊥AD В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны АС⊥AD Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD ВС || AD BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD A₁C - высота призмы A₁C=Н Из прямоугольного треугольника A₁DC: А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2 A₁C=Н=√2 м
Параллелограмм АВСД: АВ=СД=8, ВС=АД=10, ВД=7,2. АМ - биссектриса угла угла А СК - биссектриса угла угла С Точки М и К - точки пересчения биссектрис с диагональю ВД. ВД=ВМ+МД=ВМ+МК+КД=ВК+КД По свойству биссектрисы: АВ/ВМ=АД/МД 8/ВМ=10/(ВД-ВМ) 8(7,2-ВМ)=10ВМ 18ВМ=57,6 ВМ=3,2 Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны (<A=<C), то значит и <ABM=<ДСК. <ABД=<СДВ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и СД секущей ВД Получается, что ΔАВМ=ΔДСМ по стороне и прилежащей к ней углам. Значит ВМ=КД=3,2 Расстояние МК=ВД-ВМ-КД=7,2-2*3,2=0,8 ответ: 0,8
