Легко можно показать , что ∠BAC =90°. Соединяем точка D с вершиной C треугольника ABC. ∠CAD =∠90° ⇒CD диаметр окружности описанной около треугольника CAD. DC⊥BC (BC касательная ; радиус ⊥ касательной в точке касания ). В треугольнике BCD BC и CD катеты , BD-гипотенуза , CA высота опущенная на гипотенузе. Известно AC² =AB*AD ⇒AC =√(5*4) =2√5 . Из ΔCAD по теореме Пифагора: CD =√(AC² +AD²) =√(20 +25) =3√5. CD =2R₂⇒ R₂ =CD/2 = 3√5 / 2. Аналогично продолжая CD до точки E пересечения с первой окружности можно определить радиус первой окружности _R₁. --- Или BC =2√R₁*R₂.⇔BC² =4*R₁*R₂.⇔BA²+AC² =4*R₁*R₂⇔ 4²+20 =4R₁*3√5 / 2⇒R₁ =6/√5 = 6√5 / 5 .
. Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т. е. 720o, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: ( – очевидно. . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис. 1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, т. е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .
(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис. 1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1, то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т. к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.
( . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис. 2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,
