Решение.
Треугольник АВС - равносторонний => АВ=ВС=АС.
Поскольку АА¹=ВВ¹=СС¹ (по условию) и АВ=ВС=АС, то АВ¹= ВС¹=А¹С.
Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°. ∠А=∠В=∠С=60°.
∠А¹АВ¹= 180-60=120 (как смежный с углом А)
∠В¹ВС¹=180-60=120 (как смежный с углом В)
∠С¹СА¹=180-60=120 (как смежный с углом С)
Значит, все три угла равны.
Треугольники ΔА¹АВ¹, ΔВ¹ВС¹ и ΔС¹СА¹ равны по двум сторонам и углу между ними (ну, мы ведь уже по ходу решения доказали, что АВ¹= ВС¹=А¹С, ∠А¹АВ¹=∠В¹ВС¹=∠С¹СА¹, АА¹=ВВ¹=СС¹).
А поскольку данные треугольники равны, то и их стороны А¹В¹, В¹С¹ и А¹С¹ равны. Так как эти стороны равны, то ΔА¹В¹С¹ — равносторонний, что и требовалось доказать.
Δ МОР. По т. косинусов:
МР^2 = MO^2 + OP^2 - 2 MO*OP*Cos150=108+ 16 + 2*6корня из 3*4*корень из 3/2= =108+16 +72 = 196
МР = 14