Втреугольнике abc биссектрисы ad и be пересекаются в точке o. найти отношение площади четырехугольника doce к площади треугольника abc, если ac: ab: bc=4: 3: 2.
S ΔAOC = 4/9 S ΔABC S ΔBOC = 2/9 S ΔABC S ΔEOC = 2/5 S ΔAOC = 2/5·4/9 S ΔABC = 8/45 S ΔABC S ΔDOC = 4/7 S ΔBOC = 4/7·2/9 S ΔABC = 8/63 S ΔABC S (DOEC) = S ΔEOC + S ΔDOC = (8/45 + 8/63) S ΔABC = (56 + 40)/315 S ΔABC = 96/315 S ΔABC = 32/105 S ΔABC Окончательно: S (DOEC)/S ΔABC = 32/105
Центры окружностей касательных прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках. Проведем окружности касающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В. Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС. Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О. По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Значит ОА=ОВ и точка О середина АВ. ОС медиана треугольника АВС. Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной диаметру окружности описанной вокруг него. Следовательно: множество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ описанных окружностью с диаметром АВ.
1) Пусть дана трапеция ABCD, где BC - меньшее основание. Проведем 2 высоты BB₁ и CC₁ к другому основанию. Тогда получим 2 прямоуг. треуг. (AB₁B и DC₁C) и прямоугольник BB₁C₁C. Площадь прямоуг. равна 15*8=120, значит сумма площадей треуг. равна 48, т.к. треуг. равны, то площадь треуг AB₁B=24=AB₁*BB₁/2, значит AB₁=6=C₁D. Зн. AB=CD=10. Тогда периметр = 10+10+15+15+6+6=62. ответ: 62 2) Пусть угол KMA = x, а угол MKA = y, тогда x+y=180-105=75. Угол PKM = 2x, А PMK = 2y, т.е. их сумма равна 2(x+y) = 150, тогда угол KMP = 30. ответ: 30° 3) AB=CD, углы ABC=CDA и BCD=DAB, т.к. ABCD - параллелограмм. Углы BAM=DAM=DCK=BCK, т.к. CK и AM - биссектрисы. В итоге: углы ABM=CDK, KCD=BAM, AB=CD, значит треугольники равны по УСУ(2 угла и сторона между ними.)
S ΔBOC = 2/9 S ΔABC
S ΔEOC = 2/5 S ΔAOC = 2/5·4/9 S ΔABC = 8/45 S ΔABC
S ΔDOC = 4/7 S ΔBOC = 4/7·2/9 S ΔABC = 8/63 S ΔABC
S (DOEC) = S ΔEOC + S ΔDOC = (8/45 + 8/63) S ΔABC = (56 + 40)/315 S ΔABC = 96/315 S ΔABC = 32/105 S ΔABC
Окончательно: S (DOEC)/S ΔABC = 32/105