Question

Составьте каноническое уравнение гиперболы с асимптотами x-2y-3=0 и x+2y+1=0, если расстояние между её фокусами равно 20. решить это.

Answer 1

Уравнение $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} =1.$ 
задаёт гиперболу с действительной полуосью «a», мнимой полуосью «b» и центром в точке O₁(x₀;y₀).
Находим центр симметрии гиперболы как точку пересечения асимптот:
{х - 2у - 3 = 0
{x + 2y + 1 = 0.
____________
2x       - 2 = 0
x = 2 / 2 = 1.
y = (x - 3) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.
Получили точку О₁(1; -1).

Если выразить уравнения асимптот гиперболы в виде уравнения прямой с коэффициентом, то получим:
у = (1/2)х - (3/2),
у  = -(1/2)х - (1/2).
Коэффициент перед х равен отношению (b / a), где число а называют действительной полуосью гиперболы; 
число b – мнимой полуосью.
Отношение b / a = 1 / 2, то есть a = 2b. 
Сумма их квадратов равна квадрату расстояния от центра симметрии до фокуса, которое по заданию равно 20 / 2 = 10.
Подставляя в соотношение a² + b² = c² значения a = 2b и c = 10, получим (2b)² + b² = 100; b² = 100 / 5 = 20; a = 2b, а потому a²= 4b²= 4*20=80.
Искомым уравнением гиперболы будет :
$\frac{(x-1)^2}{80} - \frac{(y+1)^2}{20} =1.$

.