Смежные углы параллелограмма в сумме равны 180 гр. Если один в 5 раз больше другого, то это 30 и 150 гр. Диагональ это высота, значит, она делит угол 150 на 60 и 90. Вот я нарисовал. Если диагональ - высота равна d1, углы BAD = 30, ADB = 60 AD = b = d1/sin 30 = 2d1; AB = a = bcos 30 = 2d1*√3/2 = d1*√3 Угол ADC = 150. По теореме косинусов в треугольнике ADC AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2*AD*CD*cos ADC = = b^2+a^2-2a*b*cos 150 = 4d1^2 + 3d1^2 - 2*2d1*d1*√3(-√3/2) = = 7d1^2 + 4d1^2*3/2 = 7d1^2 + 6d1^2 = 13d1^2 AC = d1*√13 Отношение диагоналей равно AC : BD = d1*√13 / d1 = √13
Чтобы найти длину ребра aa1 прямоугольного параллелепипеда, нам понадобится использовать теорему Пифагора.
На рисунке ниже представлен прямоугольный параллелепипед с вершинами a, a1, c1, d1 и их соответствующими координатами:
```
d ------------- c
/ /
/ /
/ /
a ------------- b
| |
| |
| |
a1------------- b1
```
Обозначим длину ребра aa1 как x.
Мы знаем, что ac1 = 13, c1d1 = 3 и a1d1 = 12.
По теореме Пифагора для треугольника ac1d1:
(ac1)^2 + (c1d1)^2 = (ad1)^2
Так как ac1 = 13 и c1d1 = 3, подставляем известные значения:
13^2 + 3^2 = (ad1)^2
169 + 9 = (ad1)^2
178 = (ad1)^2
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти длину ad1:
√178 ≈ 13.34 ≈ ad1
Теперь у нас есть длина ad1, равная 13.34.
Поскольку ad1 является диагональю грани abd1, а ребро aa1 является высотой этой грани, то они образуют прямоугольный треугольник. Мы можем использовать теорему Пифагора ещё раз, чтобы найти длину ребра aa1:
(aa1)^2 + (ad1)^2 = (ad)^2
(aa1)^2 + 13.34^2 = x^2
(aa1)^2 + 178 ≈ x^2
Поскольку aa1 = x, заменяем aa1 и x в уравнении:
x^2 + 178 ≈ x^2
Мы видим, что x^2 уничтожается, и остается:
178 ≈ 0
Однако это противоречие, так как 178 не равно 0. Значит, у нас есть ошибка где-то в решении.
Чтобы найти ошибку, давайте проверим величину x в начале. В прямоугольном параллелепипеде все рёбра должны быть разной длины, поэтому в результате работы x не могло оказаться равным нулю.
Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что возможно была совершена ошибка в уравнении поиска длины ad1.
Давайте попробуем заново. Мы знаем, что ac1 = 13, c1d1 = 3 и a1d1 = 12.
Сначала найдем длину ребра cd1, используя теорему Пифагора:
(ac1)^2 + (c1d1)^2 = (ad1)^2
13^2 + 3^2 = (ad1)^2
169 + 9 = (ad1)^2
178 = (ad1)^2
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
√178 ≈ 13.34 ≈ ad1
Теперь у нас есть длина ad1, равная 13.34.
Затем рассмотрим ребро aa1, которое является высотой треугольника abd1. Мы можем использовать теорему Пифагора ещё раз.
(aa1)^2 + (ad1)^2 = (ad)^2
(aa1)^2 + 13.34^2 = x^2
(aa1)^2 + 178 ≈ x^2
(aa1)^2 ≈ x^2 - 178
(aa1)^2 ≈ x^2 - 178
Обратите внимание, что мы не можем точно рассчитать значение x^2 - 178, поскольку не знаем точное значение x. Однако мы можем ответить на вопрос, какое значение должно быть у x^2 - 178, чтобы уравнение имело смысл.
На самом деле, ответ должен быть исключительно равным 0, чтобы уравнение имело смысл.
(x^2 - 178) = 0
Из этого следует, что x^2 = 178.
Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
√(x^2) = √178
x = √178
Таким образом, длина ребра aa1 прямоугольного параллелепипеда равна √178 или приближенно 13.34, если округлить до двух десятичных знаков.
Хорошо! Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать два основных понятия - сумма сторон треугольника и отношение, в котором биссектриса делит третью сторону.
Дано: сумма двух сторон треугольника равна 91 см, а биссектриса делит третью сторону в отношении 5:8.
Пусть первая сторона треугольника равна а см, а вторая сторона равна b см.
Мы можем записать уравнение для суммы сторон треугольника:
а + b = 91 (1)
Также известно, что биссектриса делит третью сторону (пусть она равна см) в отношении 5:8. Это значит, что отрезок, который разделяет третью сторону, делится на две части: одна часть длиной 5x и другая часть длиной 8x, где x - некоторое число.
Нам также известно, что сумма двух частей этого отрезка равна длине третьей стороны треугольника. Мы можем записать это в виде уравнения:
5x + 8x = с (2)
Мы хотим найти значения a и b, поэтому нам нужна система уравнений, в которой у нас есть два уравнения с двумя неизвестными.
Решение:
Используем уравнение (1) для нахождения a:
a + b = 91
a = 91 - b
Подставим это значение в уравнение (2):
5x + 8x = с
13x = с
Теперь мы можем сделать следующий шаг. У нас есть два уравнения:
a = 91 - b (3)
13x = с (4)
Мы можем заменить a в уравнении (4) с помощью уравнения (3).
13x = 91 - b (5)
Мы хотим найти значения a и b, поэтому нам нужна система из двух уравнений.
Мы можем записать это как:
13x = 91 - b (5)
и
b = 91 - a (3)
Теперь у нас есть система уравнений, в которой у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
13x = 91 - b (5)
b = 91 - a (3)
Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода сложения/вычитания.
Давайте решим эту систему с помощью метода подстановки:
Заменим b в уравнении (5) с помощью уравнения (3):
13x = 91 - (91 - a)
Теперь мы можем упростить это уравнение:
13x = a
Теперь у нас есть новое уравнение:
13x = a (6)
Давайте теперь решим эту систему с помощью метода сложения/вычитания:
Вычтем уравнение (3) из уравнения (5):
13x = 91 - (91 - a)
13x = a
Теперь у нас снова новое уравнение:
13x = a (7)
Таким образом, у нас есть два уравнения, которые дают нам одинаковый результат:
13x = a (6)
13x = a (7)
Это означает, что a = 13x.
Теперь, чтобы найти конкретные значения a и b, мы должны выбрать любое значение для x. Давайте предположим, что x = 1:
Тогда a = 13 * 1 = 13
Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы найти значение b:
b = 91 - a
b = 91 - 13
b = 78
Таким образом, стороны треугольника равны:
a = 13 см
b = 78 см
Если один в 5 раз больше другого, то это 30 и 150 гр.
Диагональ это высота, значит, она делит угол 150 на 60 и 90.
Вот я нарисовал.
Если диагональ - высота равна d1, углы BAD = 30, ADB = 60
AD = b = d1/sin 30 = 2d1; AB = a = bcos 30 = 2d1*√3/2 = d1*√3
Угол ADC = 150. По теореме косинусов в треугольнике ADC
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2*AD*CD*cos ADC =
= b^2+a^2-2a*b*cos 150 = 4d1^2 + 3d1^2 - 2*2d1*d1*√3(-√3/2) =
= 7d1^2 + 4d1^2*3/2 = 7d1^2 + 6d1^2 = 13d1^2
AC = d1*√13
Отношение диагоналей равно
AC : BD = d1*√13 / d1 = √13