Так как перпендикуляры из В и С, опущенные на АD - параллельны,то ВF и ЕС при них секущие, и∠ 1=∠2, и∠ 3=∠ 4 как накрестлежащие. Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ. Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий ∠ 1.Следовательно, и∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ∠ 6 и ∠ 5 вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. Следовательно,∠6 = ∠ 5. А ∠ 5 = ∠3 и потому и∠5=∠ 4, равенство с которым угла 3 доказано выше .Следовательно,∠ 6=∠ 4.Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны.Отсюда следует ∠ 2 = ∠7. Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу, что вписанный ∠ 8 треугольника СВД, следовательно,∠7 = ∠8. Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒ ∠1=∠ 8. ⇒∠ 8=∠2 Рассмотрим Δ ВСF.Углы при основании ВF равны,СО делит ∠ ВСН на два равныхи является биссектрисой и высотой этого треугольника.Следовательно,Δ ВСF - равнобедренный. Но ЕО в треугольнике ВЕФ - также высота, и ВО=ОF.Этот треугольник также равнобедренный.∠ 1=∠ 9,а∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство ЕF=ВС=1
Сделаем рисунок. Пусть перпендикуляр из В будет ВМ, из С - СН Перпендикуляры к одной прямой параллельны, следовательно, ВМ и СН - параллельны. ВF и ЕС при них секущие, и ∠ FBE=∠CFB ( на рисунке это углы ∠ 1=∠2), и FCE=BEC (∠ 3=∠ 4 рисунка) как накрестлежащие. Рассмотрим треугольники ВМD и ВОЕ. Они подобны, так как оба прямоугольные по условию и имеют общий угол DBM (∠ 1 рисунка). Следовательно, и их вторые острые углы равны. ∠ 5 = ∠ 3 треугольника ВОЕ Угол ВСА и угол ВDА (∠ 6 и ∠ 5) вписанные и опираются на одну и ту же дугу, которая стягивается хордой АВ. Следовательно, они равны (∠6 = ∠ 5). Угол ВDМ совпадает с углом ВDА и равен ВЕС (∠ 5 = ∠3 доказано выше). ⇒ ∠BDМ=∠ACH (∠5=∠ 4=∠3) .Т.к. угол ВСА=BDA, то угол ЕСB=ECF (∠5=∠ 6=∠ 4). Рассмотрим Δ АСН и Δ СОF Они прямоугольные, имеют общий угол АСН и потому подобны. Отсюда следует равенство вторых острых углов: Угол САН=углу СFO (∠ 7 = ∠2). Вписанный ∠7 опирается на ту же дугу CD, что вписанный СBD (∠ 8 ) треугольника СВD, следовательно, угол СAH=углу СBF (∠7 = ∠8). Но ∠ 7= ∠2=∠ 1.⇒ ∠1=∠ 8. ⇒∠ 8=∠2 В Δ ВСF углы при основании ВF равны, СО ⊥ BF и делит ∠ ВСF на два равныхи является биссектрисой и высотой Δ ВСF. Следовательно, Δ ВСF - равнобедренный. Но ЕО в треугольнике ВЕF - также высота и медиана, и ВО=ОF. Этот треугольник также равнобедренный. ∠ 9=∠2=∠1, а ∠ 3= ∠10, т.к. ЕО высота и биссектриса равнобедренного треугольинка ВЕF Таким же образом треугольник ВСЕ и треугольник ЕFС равнобедренные и равны между собой. В результате всех этих доказательств мы имеем четырехугольник, в котором все стороны равны, и этого достаточно для того, чтобы утверждать равенство ЕF=ВС=1 ( Даны 2 рисунка - один с решением, другой - без) ------------ [email protected]
