7) т.к. точка О - центр обоих окружностей, то расстояние от окружности до окружности в любом месте одинаково. Т.к. точки М и N касаются малой окружности с центром в точке О, то АВ и CD являющиеся хордами большей окружности равны.
9) 1) т.к. АВ, BD, DE - касательные (проведем от них перпендикуляр к точке О, чтобы это доказать, и получим углы по 90 градусов), то AB=BC=CD=DE. 2) аналогично первой задаче, только наоборот :)
В задаче неправильное условие. Должно быть: Трапеция ABCD (AD и ВС - основания) расположена вне плоскости α. Диагонали трапеции параллельны плоскости . Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках E и F. Докажите, что EABF параллелограмм.
Если диагонали трапеции параллельны плоскости α, то и плоскость трапеции параллельна плоскости α: диагонали - две пересекающиеся прямые плоскости трапеции, а в плоскости α найдутся две прямые, параллельные им.
Значит АВ║α.
Параллельные прямые AE и BF задают плоскость, которая проходит через АВ, параллельную α, и пересекает α. Значит линия пересечения - EF - параллельна АВ..
В четырехугольнике противолежащие стороны параллельны, значит это - параллелограмм.
Когда говорят, что призма правильная, то в основании правильный многоугольник (в данном случае квадрат), рёбра перпендикулярны основанию. Если вписать в квадрат окружность (основание цилиндра), то эта окружность коснётся квадрата в серединах его сторон. Если мы соединим середины двух смежных сторон (идущих друг за другом), то получим отрезок, по которому пересекается сечение призмы и основание. Нам известно, что сечение квадрат площадью а^2 (а в квадрате). Значит этот отрезок длины а. Но этот отрезок, является гипотенузой равнобедренного треугольника, который мы отрезали от квадрата, когда соединяли середины сторон основания. По теореме Пифагора найдём катет (половина стороны квадрата в основании призмы). Этот катет равен a/sqrt(2). Кстати, этот катет равен радиусу вписанной окружности.
9) 1) т.к. АВ, BD, DE - касательные (проведем от них перпендикуляр к точке О, чтобы это доказать, и получим углы по 90 градусов), то AB=BC=CD=DE.
2) аналогично первой задаче, только наоборот :)