Question

Из точки на окружность проведены две хорды длиной 10 и 12см. известно что от середины меньшей хорды до большой хорды равно 4см. найти радиус окружности.

Answer 1

Что- то мало баллов. :) Обозначим за с=АВ=10 см меньшую хорду (с - так как лежит напротив угла С). а=ВС=12 см - большую сторону (а - так как лежит напротив угла А). Неизвестной останется только сторона b=АС (b - так как лежит напротив угла В). Тогда АВС - треугольник, вписанный в окружность. Пусть AL=LB - середина стороны AB. Точка К - принадлежит стороне BC, причем BK=3 см и $\angle BKL=90^0$ согласно условию задачи. Тогда треугольник BKL - прямоугольный. Нетрудно понять по теореме Пифагора, что сторона

$LK=\sqrt{LB^2-BK^2}$

$LK=\sqrt{5^2-3^2}$

$LK=\sqrt{25-9}$

$LK=\sqrt{16}$

LK=4.

Тогда по определению $\sin\angle B=\frac{LK}{BL}$

$\sin\angle B=\frac{4}{5}$.

Чтобы найти радиус описанной окружности воспользуемся частью теоремы синусов

$\frac{b}{\sin\angle B}=2R$

$\frac{b}{\frac{4}{5}}=2R$

5b=8R

$R=\frac{5b}{8}\quad (1)$

Чтобы вычислить b=AC придется применить теорему косинусов.

$AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*\cos(\angle B)$

$AC^2=10^2+12^2-2*10*12*\cos(\angle B)$

$AC^2=100+144-240*\cos(\angle B)$

По определению

$\cos(\angle B)=\frac{BK}{LB}$

$\cos(\angle B)=\frac{3}{5}$

$AC^2=100+144-240*\frac{3}{5}$

$AC^2=100+144-144$

$AC^2=100$

AC=10

b=10.

Подставляю в формулу (1)

$R=\frac{5*10}{8}$

$R=\frac{25}{4}$

R=6,25

ответ: радиус окружности равен 6,25 см.