Точка H1 симметрична ортоцентру H относительно середины стороны AC, HM=H1M
AHCH1 - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам), H1C||AA1 => H1C⊥BC, ∠BCH1=90
Аналогично ∠BAH1=90
ABCH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые), BH1 - диаметр.
Доказали свойство:
Tочка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине.
По свойству ортоцентра: H1 на описанной окружности, ∠BAH1=∠BCH1=90
AXHH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые) =>
∠XH1H =∠XAH =∠BAA1
Аналогично ∠YH1H =∠YCH =∠BCC1
∠BAA1 =90-∠B =∠BCC1 => ∠XH1H =∠YH1H
H1H - биссектриса и высота в △XH1Y, следовательно и медиана, XH=HY
Или
А, C1, A1, C на окружности диаметром AC
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам => H - середина PQ.
Теорема о бабочке:
Через середину хорды PQ проведены произвольные хорды AA1, CC1.
Хорды AC1 и CA1 пересекают хорду PQ в точках X и Y.
Тогда H - середина XY.
Пусть х - длина катета
По теореме Пифагора:
с²=а²+в²
(5√2)²=х²+х²
25*2=2х²
х²=50:2
х²=25
х=5(см) - длина катета
х=-5(не удовл. условию)
ответ:5см.