Сделаем рисунок. АВ - общая касательная. IJ- отрезок, соединяющий центры. О - точка пересечения этого отрезка и касательной. IA - радиус большей окружности, JB - радиус меньшей окружности. Вариант решения 1) Как радиусы, проведенные в точку касания, IA и JB перпендикулярны касательной АВ. Прямоугольные треугольники OIA и OJB подобны по двум углам - прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия k=m:n ⇒ IA:JB=m:n Ясно, что отношение диаметров данных окружностей равно отношению их радиусов, т.е. АС:ВD=m:n.
Вариант решения 2) СА ⊥АВ BD ⊥АВ ⇒ СА и BD- параллельны. Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. Треугольники АСO и DBO подобны по трем углам. OI OJ- медианы этих треугольников. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.
Проведем из вершины В высоту ВН к АС. В равнобедренном треугольнике высота еще биссектриса и медиана. ⇒ АН=НС ВО=20 см, ОН=12 см. ВН=ВО+ОН=32 см Из центра вписанной окружности проведем радиус ОМ в точку касания с боковой стороной ВС. ∠ВМО=90º ( радиус в точке касания перпендикулярен стороне), ОМ=12 см ВМ =16 ( не делала вычислений, т.к. прямоугольный треугольник с отношением катета и гипотенузы 3:5- египетский. Можно найти ВМ и по т. Пифагора) Треугольники ВНС и ВМО подобны: прямоугольные и имеют общий угол В. Тогда ВО:ВС=ВМ:ВН 20:ВС=16:32 16 ВС=640 ВС-40 см
Отрезки касательных из одной точки до точки касания равны. ⇒ МС=НС МС=ВС-МС= 40-16=24 см АС=2НС=24*2=48 см Р=АВ+ВС+АС=40+40+48=128 см
